Mathematische Definition

michi5656_01a737 · 12. November 2019 um 16:41

Ich möchte euch schon einmal Vorwarnen, ich habe hier nicht richtig alles mathematisch formuliert und glaube viele werden nur den Kopf schütteln wenn sie das lesen.
Ich würde mich wirklich sehr freuen wenn sich jemand trotzdem die Mühe macht und mir das alles erklären will!
Gibt es ein mathematisches Teilgebiet das Sachen misst? zB. die länge eines Intervalls, falls ja sagt mir bitte bescheid.

Was sind Punkte im Mathematischen Sinne? Unendlich kleine stellen bzw. Angaben wo etwas sich befindet?
Mich beschäftigt die frage wie die Distanz zwischen zwei punkten exakt berechnet wird. Auf einer Zahlengerade rechnet man dann ja die Distanz zwischen zwei Punkten A,B folgendermasen
AB = |A-B| Sind das alle Punkte der kürzesten Strecke von a nach b und die Punkte a,b mit eingeschlossen? Spielt das überhaupt eine Rolle?
Weiterhin dachte ich mir wenn man die Länge eines Intervalls „messen“ möchte z.B. [a,b] dann rechnet man auch |b-a|. Ist die Länge des abgeschlossen Intervall [a,b] a,b Reele Zahlen gleich dem offenen Intervall (a,b) Obwohl [a,b] zwei Punkte enthält die (a,b) nicht enthält? Ist das so weil |R ein metrischer Raum ist und d(x,x) = 0 ist also Punkte gar keine Länge haben. Ich habe mir bisher immer vorgestellt dass ein Intervall aus unendlich vielen Punkten besteht wenn jetzt jeder Punkt aber die länge 0 hat macht das keinen Sinn. dann wär der ganze Intervall 0 lang. Ich glaube ich kann das gar nicht richtig miteinander vergleichen.
Ist es ist egal wenn ich die Länge eines intervalls
[a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich ihn unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in [a,b)+[b,c)+[c,d] … Kann man überhaupt Intervalle addieren oder mach ich hier einfach nur Quatsch?
Kann ich mir z.B. die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl vorstellen als alle Punkte bis zur 5, die 5 mit eingeschlossen. dann würde Man 5-3 irgendwie so darstellen können:alle elemente aus [0,5] \ alle elemente aus [0,3]
=(3,5] und das ist gleich lang wie [3,4]? also 2 dann müsste aber auch 1,99 periode = 2 sein…
Man kann also einen Intervall in endlich viele kleinere Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein müssen, dann bestimmt man die länge der Teilintervalle addiert sie und erhält die Länge des gesamt Intervalls? Also unterteile ich z.B. das Intervall
[a,b] : a = x_0

Alexander_H_8968b5 · 12. November 2019 um 16:41

Hi

Ich möchte euch schon einmal Vorwarnen, ich habe hier nicht
richtig alles mathematisch formuliert und glaube viele werden
nur den Kopf schütteln wenn sie das lesen.
Ich würde mich wirklich sehr freuen wenn sich jemand trotzdem
die Mühe macht und mir das alles erklären will!
Gibt es ein mathematisches Teilgebiet das Sachen misst? zB.
die länge eines Intervalls, falls ja sagt mir bitte bescheid.

Stichworte: Metrische Räume, Topologie

Was sind Punkte im Mathematischen Sinne? Unendlich kleine
stellen bzw. Angaben wo etwas sich befindet?

Ein punkt ist 0-dimensional, er hat also keine Ausdehnung in irgendeine Richtung. Die zweite definition würde dir vermutlich ein Physiker geben, a priori muss sich an einem Punkt aber nix befinden.

Mich beschäftigt die frage wie die Distanz zwischen zwei
punkten exakt berechnet wird.

Wo? In einem Raum muss dafür eine Metrik definiert werden. Die bestimmt dir dann den Abstand d(x,y). Es sind einige Metriken definert, du kannst dir aber eine eigene ausdenken. Sie muss nur einige Dinge erfüllen, zB dass der Abstand nur dann null ist zwischen 2 Punkten wenn es der gleiche ist. Rest siehe Wikipedia.

Auf einer Zahlengerade rechnet
man dann ja die Distanz zwischen zwei Punkten A,B
folgendermasen
AB = |A-B| Sind das alle Punkte der kürzesten Strecke von a
nach b und die Punkte a,b mit eingeschlossen? Spielt das
überhaupt eine Rolle?

Das ist schon eine definition, die viele verwenden (korrespondiert auf einem Zettel mit dem was du mit einem Lineal messen würdest). Auf einer Zahlengerade gibt es nur eine Verbindung. Sonst ist der Abstand zweier Punkte als kürzester Abstand definiert. In 2D könnte ich ja sonst jeden beliebigen Abstand zw. 2 Punkten angeben, nur der kürzeste ist eindeutig.Da der Punkt selbst keine Ausdehnung hat, ist das der Abstand der 2 Punkte, mit oder ohne macht net so viel Sinn dann.

Weiterhin dachte ich mir wenn man die Länge eines Intervalls
„messen“ möchte z.B. [a,b] dann rechnet man auch |b-a|. Ist
die Länge des abgeschlossen Intervall [a,b] a,b Reele Zahlen
gleich dem offenen Intervall (a,b) Obwohl [a,b] zwei Punkte
enthält die (a,b) nicht enthält? Ist das so weil |R ein
metrischer Raum ist und d(x,x) = 0 ist also Punkte gar keine
Länge haben. Ich habe mir bisher immer vorgestellt dass ein
Intervall aus unendlich vielen Punkten besteht wenn jetzt
jeder Punkt aber die länge 0 hat macht das keinen Sinn. dann
wär der ganze Intervall 0 lang. Ich glaube ich kann das gar
nicht richtig miteinander vergleichen.

Es macht einmal einen unterschied, ob das Intervall auf R,Q,N oder sonst was definert ist, wie du sagst. Unendlich viele Punkte aneinander ergeben aber irgendwann auch was endliches, genau das machst du beim Integrieren. Du hängst unendlich viele unendlich kleine Wegstückerl zusammen und hast am Ende was ungleich null.

Ist es ist egal wenn ich die Länge eines intervalls
[a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich ihn
unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in [a,b)+[b,c)+[c,d] …
Kann man überhaupt Intervalle addieren oder mach ich hier
einfach nur Quatsch?

Im eindimensionalen kannst du Abstände zusammenzählen, ab 2D nicht mehr. Da gilt nur noch die Dreiecksungleichung. Sagen wir haben 3 Punkte a,b,c in 2D. Dann gilt d(a,c)>= d(a,b)+d(b,c) wobei gleich gilt, wenn b auf der Verbindungsline von a c liegt.

Kann ich mir z.B. die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl vorstellen
als alle Punkte bis zur 5, die 5 mit eingeschlossen. dann
würde Man 5-3 irgendwie so darstellen können:alle elemente aus
[0,5] \ alle elemente aus [0,3]
=(3,5] und das ist gleich lang wie [3,4]? also 2 dann müsste
aber auch 1,99 periode = 2 sein…

ist es auch. Denke an was leichteres: 10/3 ist 3,3… Aber 3.3333…*3 ist "nur"9.9999… periodisch. Wenn jetzt 9.9 per nicht das Gleiche ist wie 10 dann wäre kürzen verboten weil 10/3 *3 nicht mehr 10 ist. Da es von 9.9 periodisch KEINEN Abstand zu 10 gibt, ist es gleich 10.

Man kann also einen Intervall in endlich viele kleinere
Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein müssen,
dann bestimmt man die länge der Teilintervalle addiert sie und
erhält die Länge des gesamt Intervalls? Also unterteile ich
z.B. das Intervall
[a,b] : a = x_0

michael_f7f5bc · 12. November 2019 um 16:41

hi,
deine fragen sind nicht quatsch, sondern relativ selbstverständliche fragen, die sich auftun, wenn man sich mit unendlichkeiten beschäftigt.

(lassen wir die philosophische frage, ob es unendlichkeiten überhaupt gibt, weg und akzeptieren den mathematischen ansatz, der an sie „glaubt“ bzw. sie per axiomensystem in die welt setzt.)

zunächst ist ein kennzeichen des unendlichen, dass echte teile „gleich groß“ sein können. nimm z.b. die natürlichen und die geraden-natürlichen zahlen.

1 2 3 4 5 6 ...
2 4 6 8 10 12 ...

die geraden zahlen sind eine echte teilmenge der natürlichen. trotzdem GIBT ES GLEICH VIELE, denn jeder geraden zahl kann man exakt eine natürlich und jeder natürlichen zahl exakt eine gerade zuordnen.

das ist bei endlichen mengen (und in unserer täglichen erfahrung) nicht so. wenn man dort irgendwo etwas wegläst, ist das, was übrig bleibt, weniger.

dann: deine weiteren fragen betreffen eigentlich maßtheorie und wahrscheinlichkeitsrechnung. man betreibt wahrscheinlichkeitsrechnung auf unendlichen (kontinuierlichen) mengen, indem man diese mengen „misst“: längen von strecken, flächen etc.

und auch hier ist es so, dass ein offenes intervall eben gleich lang ist wie ein geschlossenes, obwohl das geschlossene 2 punkte mehr enthält. diese 2 punkte machen in bezug auf die länge nichts aus. auf dem kontinuum definiert wahrscheinlichkeitsfunktionen, die für einzelne punkte (praktisch) immer die wahrscheinlichkeit 0 liefern. wahrscheinlichkeiten (oder allgemeiner: maße) sind eben von einzelpunkten unabhängig; die machen nix aus.

du hast als ort, wo etwas ist, eigentlich eine hübsche definition eines punkts gegeben. mathematische punkte sind keine physikalischen oder geographischen: sie haben keinerlei ausdehnung; sie sind nur eine von koordinaten beschriebene stelle. als solche sind sie keine objekte einer realität.

hth
(auch) m.(ichael)