hi,
gehen wirs durch:
Wir
sollten uns eine dreistellige Zahl mit unterschiedlichen
Ziffern ausdenken (zweistellig funktioniert aber auch).
du denkst dir „abc“, das hat den zahlenwert 100a + 10b + c
Dann
die erste und die letzte Ziffer tauschen also aus
beispielsweise 123 wurde 321.
das wär dann 100c + 10b + a
Dann die Kleinere, von der
Größeren subtrahieren. Also 321-123=198
allgemein („ohne beschränkung der allgemeinheit“) kann man annehmen, dass a > c (sonst umgekehrt).
du erhältst als zahlenwert:
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) =
= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a =
= 99a - 99c = 99*(a-c)
jedenfalls ein vielfaches von 99, also entweder 99 selbst, oder 198, oder 297 …
in ziffern:
99*(a-c) = 100 * (a-c) - (a-c) =
= 100*(a-c) - 100 + 100 - a + c =
= 100*(a-c-1) + 100 - a + c =
= 100*(a-c-1) + 90 + 10-a+c
in diesem ergebnis ist also a-c-1 die hunderterziffer und 10-a+c die einerziffer. die zehnerziffer ist immer 9. (das sind die 90.)
Danach wieder die
erste und die letzte Ziffer tauschen und dieses Mal addieren.
du addierst also
100 *(10-a+c) + 90 + (a-c-1) =
= 1000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1 =
= 1000 - 99a + 99c + 89
Also 198+891=1089.
das gibt insgesamt:
(99a - 99c) + (1000 - 99a + 99c + 89) = 1089
und zwar immer, für jedes a und c.
es müssen also nur die einer- und die hunderterziffer verschieden sein.
m.
Bei allen anderen kam ebenfalls 1089 raus.
Wie kann das sein? Wie lässt sich das logisch,einfach und
mathematisch erklären und herleiten?
Vielen Dank schonmal vorab!
