Ein Planet hat ein Volumen von 4,523*10 Hoch 10 km³.
Zwei Städte haben, auf der Planetenoberfläche gemessen, eine
gegenseitige Entfernung von a=5000 km. Wie lang ist ein
Tunnel, der die beiden Städte geradlinig miteinander
verbindet.
Durch meine Google suche weiß ich inzwischen das Ergebnis
(4000m) aber wie berechne ich das?
Hm, das zieht sich ein wenig… erst mal würde ich den Radius berechnen (Kugelvolumen: V = 4 pi/3 r^3, das nach r umstellen, V einsetzen); ergibt bei mir gerundet 2210 km.
Dann eine Skizze machen: Schnitt durch die Kugel, sodass die beiden Städte also auf einem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt gleich dem Mittelpunkt des Planeten ist und dessen Radius gleich 2210 km ist. Die gesuchte Sehne (Tunnel) mit einzeichnen, außerdem die beiden Radien, und die Höhe im sich ergebenden gleichschenkligen Dreieck.
Dann den Winkel in der Mitte (also in der Spitze des Dreiecks) ausrechnen. Für die Länge eines Kreisbogens b gilt im Abhängigkeit vom Winkel alpha: b = 2 pi r alpha / 360°. Nach alpha umstellen, r = 2210 km und b = 5000 km einsetzen, ergibt alpha = 129,6°.
Dann nimmt man sich eines der beiden Teildreiecke her (aus Radius, Hälfte der Sehne und Höhe des gleichschenkligen Dreiecks). Das ist rechtwinklig, also kann man in dem den Sinus benutzen: sin(129,6°/2) = x/2210 km, wobei x die Hälfte der Sehnenlänge ist. Das ergibt dann fast exakt x = 2000 km, also ist der Tunnel 4000 km lang - passt. 
