Matheproblem; Kugel und Kreissehne

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich bin jetzt schon ein wenig aus der Schule herausen und muss jetzt wieder n paar Sachen berechnen.

Momentan bereitet mir folgende Standartaufgabe ein wenig Kopfzerbrechen.

Ein Planet hat ein Volumen von 4,523*10*10 km³.
Zwei Städte haben, auf der Planetenoberfläche gemessen, eine gegenseitige Entfernung von a=5000 km. Wie lang ist ein Tunnel, der die beiden Städte geradlinig miteinander verbindet.

Durch meine Google suche weiß ich inzwischen das Ergebnis (4000m) aber wie berechne ich das?

#2

Hallo.

Zunächst einmal berechnen wir den Radius des Planeten (wir gehen also ganz keck davon aus, dass der Planet eine exakte Kugel ist, noch so wie die Erde).

Mit V= 4/3 pi * r^3 lässt sich der Radius berechnen.
Mit der Formel für den Umfang: U = 2 pi r
lässt sich dann der Winkel berechnen, der sich vom Mittelpunkt zu den zwei Städen aufspannen lässt, als Winkel alpha = a / U *360

Mit dem Winkel lässt sich über den SvP bzw. Trigonometrie dann die Verbindung d der zwei Städte berechnen: sin alpha/2 = d/2 / r
oder d = 2 * r * sin alpha/2

Viele Grüße.

#3
  1. Schritt: Aus der Volumenformel V=(4/3)*(Pi)*( r hoch 3) holst Du Dir den Kugelradius r. (3. Wurzel …)
    2.Schritt Die Entfernung der Städte b auf der Kugeloberfl. genügt der Formel b= ( pi*r* (alpha))/180° Daraus besorgst Du Dir alpha, das ist der Winkel, den die zu den Städten führenden Radien im Planetenmittelpunkt miteinander bilden.
  2. Schritt : Mit s = r* Wurzel aus ((2-2*cos (alpha)) - das ist der spezialisierte Kosinussatz - erhältst Du die Tunnellänge s.
    Gruß von Max
#4

Hallo,

bei dieser Aufgabe sind mathematische Kompetenzen gefragt, keine „Google-Kompetenz“.

Eine direkte Antwort hilft auf Dauer nicht weiter, daher überlege bitte:

* Welches mathematische Objekt würde gut einen Planeten beschreiben?
* Welche Standardformeln gibt es zu diesem mathematischen Objekt? (-> Formelsammlung oder meinetwegen auch Wikipedia)
* Welche Formel sagt etwas über das Volumen aus? Welche Größe kann man dadurch rechnerisch ermitteln?
(-> Formel umformen, Ergebnis über 3. Wurzel mit Taschenrechner berechnen, sinnvoll runden)
* Welche Formel sagt etwas über den Umfang (Stichwort: „Großkreis“) aus? Berechne ihn!
* Jetzt eine Skizze zu den Städten anfertigen!
Hinweis: Kreissegment („Tortenstück“) zeichnen, „Tunnel“ einzeichnen. Eventuell hilft es auch, das entstehende gleichseitige Dreieck durch den Kreismittelpunkt zu halbieren, um zwei identische rechtwinklige Teildreiecke zu erhalten.
* Welchen Anteil am errechneten Umfang macht die Stadtentfernung aus? Was bedeutet das für den Dreieckswinkel im Kreismittelpunkt?
* Die Tunnellänge (bzw. die halbe Tunnellänge) kann nun durch eine einfache trigonometrische Berechnung ermittelt werden. (Hinweis: Def. des Sinus nachschlagen)

Viel Spaß bei der Selbst-Entdeckung der Lösung!

Ein Planet hat ein Volumen von 4,523*10*10 km³.
Zwei Städte haben, auf der Planetenoberfläche gemessen, eine
gegenseitige Entfernung von a=5000 km. Wie lang ist ein
Tunnel, der die beiden Städte geradlinig miteinander
verbindet.

Durch meine Google suche weiß ich inzwischen das Ergebnis
(4000m) aber wie berechne ich das?

#5

Hallo,

bei dieser Aufgabe sind mathematische Kompetenzen gefragt, keine „Google-Kompetenz“.
Bitte beachte auch die FAQ 3138 zu Hausaufgaben.

Eine direkte Antwort hilft auf Dauer nicht weiter, daher überlege bitte:

* Welches mathematische Objekt würde gut einen Planeten beschreiben?
* Welche Standardformeln gibt es zu diesem mathematischen Objekt? (-> Formelsammlung oder meinetwegen auch Wikipedia)
* Welche Formel sagt etwas über das Volumen aus? Welche Größe kann man dadurch rechnerisch ermitteln?
(-> Formel umformen, Ergebnis über 3. Wurzel mit Taschenrechner berechnen, sinnvoll runden)
* Welche Formel sagt etwas über den Umfang (Stichwort: „Großkreis“) aus? Berechne ihn!
* Jetzt eine Skizze zu den Städten anfertigen!
Hinweis: Kreissegment („Tortenstück“) zeichnen, „Tunnel“ einzeichnen. Eventuell hilft es auch, das entstehende gleichschenklige Dreieck durch den Kreismittelpunkt zu halbieren, um zwei identische rechtwinklige Teildreiecke zu erhalten.
* Welchen Anteil am errechneten Umfang macht die Stadtentfernung aus? Was bedeutet das für den Dreieckswinkel im Kreismittelpunkt?
* Die Tunnellänge (bzw. die halbe Tunnellänge) kann nun durch eine einfache trigonometrische Berechnung ermittelt werden. (Hinweis: Def. des Sinus nachschlagen)

Viel Spaß bei der Selbst-Entdeckung der Lösung!

Ein Planet hat ein Volumen von 4,523*10*10 km³.
Zwei Städte haben, auf der Planetenoberfläche gemessen, eine
gegenseitige Entfernung von a=5000 km. Wie lang ist ein
Tunnel, der die beiden Städte geradlinig miteinander
verbindet.

Durch meine Google suche weiß ich inzwischen das Ergebnis
(4000m) aber wie berechne ich das?

#6

Vielen Dank,

den Anfang hab ich alleine schon hinbekommen. Ich steig dann bei der Berechnung des Winkels Alpha (Mittelpunktswinkel) nicht mehr durch. Du hast geschrieben: Alpha = a / U*360. Wofür steht a?

Ich weiß net, vielleicht bin ich da auch einfach nur zu blöd meinen Taschenrechner zu bedienen.

Danke aber schon mal.

#7

Hallo.

a ist in der Aufgabe oben der Kreisbogen zwischen den beiden Städten und somit quasi der Bruchteil des ganzen Umfangs. In Deinem Fall ist a = 5000km.

Viele Grüße.

#8

Hallo,

zuerst musst Du den Radius der Kugel berechnen, da das die Größe ist, mit deren Hilfe alle anderen beschrieben werden. (Das hat sich irgendwann mal irgendwer ausgedacht, es könnte genausogut das Volumen sein.)

Da Du das Volumen der Kugel gegeben hast, kriegst Du über V=4/3*π*r³ den Radius raus: r=dritte Wurzel aus 3/4*V/π. Das ergibt dann ca. 2680km.

Nun haben die Städte die Entfernung d=5000km, das entspricht einem Bogen auf der Kugel. Hierfür wäre die entscheidende Kenngröße der Winkel ζ, in dem die beiden Städte vom Erdmittelpunkt aus gesehen zueinander liegen. Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt einfach d=r*ζ, also ζ=d/r=1,87 (rund).

Und nun der direkte Abstand, da ist die Formel etwas komplizierter: D=2r*sin(ζ/2). Also einfach einsetzen, und dann kommst Du auf D=4300km (rund).

#9

Hi,
Als erstes musst du den Radius des Planeten aus seinem Volumen berechnen. (V=4/3*π*r^3 (r hoch 3)
-> r = 3. Wurzel aus (4/3*π/V)
Dann hast du jetzt Radius r und Bogenlänge b des Kreissegments, damit berechnest du den Mittelpunktswinkel alpha: alpha=b/r (Winkel in Bogenmaß nicht Gradmaß!!)
und damit kannst du die Bogensehne s (also die länge des Tunnels) berechnen:
s= 2*r * sin(alpha/2)
Probier das mal mit Werten aus (ich bin mir jetzt nicht sicher ob se bei dir 4,523*10*10 km³ oder 10^10 km³ sein solln, deswegen kann ich das jetzt nicht überprüfen), achte nur darauf, dass dein Taschenrechner im Bogenmaß rechnet (rad) sonst musst du für den sinus dein alpha in Gradmaß umrechnen.
( http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/… hier noch eine Skizze mit allen Abkürzungen)
Grüße Kilian

#10

Hallo,

Ein Planet hat ein Volumen von 4,523*10*10 km³.
Zwei Städte haben, auf der Planetenoberfläche gemessen, eine
gegenseitige Entfernung von a=5000 km. Wie lang ist ein
Tunnel, der die beiden Städte geradlinig miteinander
verbindet.

Durch meine Google suche weiß ich inzwischen das Ergebnis
(4000m) aber wie berechne ich das?

Grundannahme: Der Planet hat Kugelform.

Zunächst stellen wir fest, dass es eigentlich ein Problem in der Ebene ist. Wir können nämlich eine Ebene durch die 2 Städte und den Planetenmittelpunkt legen. Auf der spielt sich dann alles ab.

Dann haben wir einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r (wie die Kugel) und auf dem Kreis zwei Punkte A und B. Der Bogen von A nach B hat die Länge 5000km (b), die Sehne zwischen A und B ist gesucht (x).

Der Schlüssel zur Lösung ist der Winkel zwischen A, M und B: alpha. Er entspricht dem Verhältnis von b zum Gesamtumfang:

alpha = b / (2 pi r) * Winkel Vollkreis

Bei Verwendung von Radiant (Vollkreis = 2 pi) ergibt sich:

alpha = b / r

Der Kosinussatz gibt aus r und alpha die Länge x:

x² = r² + r² - 2rr cos alpha
= r² (2 - 2 cos alpha)
also

x = sqrt(r² (2 - 2 cos b/r))
= r sqrt (2 - 2cos b/r)

Jetzt fehlt nur noch r, das aus dem Volumen der Kugel errechnet werden kann:

V = 4/3 pi * r³

r = (3/4pi V)^(1/3)

Mit den gegebenen Werten kommt man auf

r = 2210km
x = 4000km

Schöne Grüße,

Michael

#11

Planetenvolumen V=4/3 * pi * r^3. Dies liefert r=…
Kreisbogen a=r * phi. Dies liefert phi=…
Tunnellänge x:
Im rechtwinkligen Dreieck (Kugelmittelpunkt; Tunnelendpunkt; Tunnelmitte) gilt
sin(phi/2) = (x/2) /r. Dies liefert x/2=r*sin(phi/2) und daraus x.
Grüße von W.

#12

Hallole,

unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissehne
ist eine interessante Beziehung zu finden.

Mit dem Volumen ist - die Erde als Kugel angenommen - der Radius festgelegt.

Mit einem Schnitt durch den Kreismittelpunkt und die beiden Punkte auf der Kugeloberfläche ( Städte ) spielt sich alles auf einem Kreis mit obigem Radius ab.

Aus dem Verhältnis von Kreisumfang und „Entfernung“ ( = Bogen ) ergibt sich der Winkel am Kreismittelpunkt alfa ( Bild Sehne bei Wikipedia ).

Die Sehnenlänge ergibt sich aus der oben zitierten Formel. Mit der Halbierung der Sehnenlänge liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor, sodaß sich sofort die Formel mit dem Sinus mit alfa /2 ergibt.

Das war’s!

MfG
G. Aust

#13

Also als erstes berechnest du den Radius über:

V=(4/3)*pi*r^3

jetzt berechnest du den öfnungswinkel zwischen den zwei geraden, die die Städte mit dem kugel- nzw kreismittelpunkt verbinden, das machst du wie folgt:

Alpha/(2*pi)=5000/(2*pi*r)

alpha ist dann im bogenmaß

wenn du dir das problem genau betrachtest, ensteht ein gleichschenkliges Dreieck, mit dem planetenradius als schenkel und dem tunnel als basis.
dieses dreieck halbierst du, damit ein rechtwinkliges dreieck entsteht.

Jetzt wendest du den sinus an:

Sin(Alpha/2)=(Halber Tunnel/Radius)

also:

Tunnellänge = 2*sin(aplpha/2)*radius

so rechnen wir das noch einmal durch:
Radius:
r=(3*V/(pi*4))^(1/3)= 2210 km
Winkel:
Alpha = 5000/2210 = 2,62
Jetzt zum dreieck:
T=2*sin(alpha/2)*Radius = 4000 km

So, ich hoffe es hat geholfen :smile:

#14

Hallo,
leider habe ich die Volumenangabe nicht ganz verstanden, daher bringe ich die Lösung allgemein.
Ich hoffe, Dir damit geholfen zu haben:

Schritt 1 (Bestimmen des Radius des Planeten):
V=4/3*PI*r**3 ==> r=(3/(4*PI)*V)**(1/3)

Schritt 2 (Bestimmen des Umfangs des Planeten):
U=2*PI*r

Schritt 4 (Bestimmen des Sekantenwinkels):
Winkel w = Länge (5km) / U * 360

Schritt 5 (Halbieren des Winkels): w/2

Schritt 6 (Bestimmen halbe Tunnellänge):
Die halbe Tunnellänge entspricht der halben Kreissehne.
Betrachte das rechtwinklige Dreieck bestehend aus Radius, der halben Kreissehne und der Mittelsenkrechten auf die Kreissehne.
Tunnellänge:= t
t=2*sin(w/2)*r

Ich hoffe, Du kommst damit klar.
Gruß
Franz-Josef

#15

Hallo,

Mit Hilfe der Volumenformel V = 4/3Pi*r^3 lässt sich der Radius des Planeten berechnen. Man erhält unter der Voraussetzung, dass Du beim Volumen 4,523*10^10 km^3 meinst r = 2210,273378 km.
Nun kann man den Winkel des Kreissegements ausrechnen mit der Formel für den Kreisbogen
b = Pi*Alpha*r/180° (für b und r die Werte 5000 und 2210,… einsetzen).
Du erhältst für Alpha 129,6°, womit die beiden anderen Winkel jeweils 25,19° groß sind (Dreieck im Kreissegment, das durch die Sehne s abgegrenzt wird).
Mit Hilfe der Winkelfunktionen kann man die Seite des Dreiecks im Kreissegment ausrechnen, die gleichzeitig die Länge des Tunnels darstellt: Es gilt:
cos (25,19°) = (s/2)/r
umgestellt nach s
s= cos(25,19°)*2r
s = 4000 km.
Leider weiß ich nicht, wie man in diesem Portal Skizzen einfügt. Daran ließe es sich veranschaulichen. Ich hoffe, Du steigst trotzdem durch.

Viele Grüße
funnyjonny

#16

Hi,
aus dem Volumen rechnest du mit der Formel für die Kugel deren Radius aus:
V = 4/3*r*Pi also r = 3*V / (4*Pi)

Dann machst du dir eine kleine Skizze: Schnitt duch die Kugel (Kreis). Es entsteht ein Sektor von einem Kreis mit dem Mittelpunkt M, und den Punkten A udn B auf derm Kreisbogen (Städte)
Der Kreisbogen ist 5000km lang.
Wenn duM mit A und B verbindest, erhältst du ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis du berechnen möchtest.

Trick:
Teile das gleichschenklige Dreieck in 2 symmetrische rechtwinklige Dreiekce entlang der einzigen Symmetrieachse.
Den Schnittpunkt dieser Symm.-achse mit [AB] nennst du P.
Jetzt berechnen wir AP, was die Hälfte der gesuchten Länge AB ist. Du musst also zum Schluss noch verdoppeln:

Jetzt brauchen wir den Winkel alpha, oder besser gesagt alpha/2

Es gilt:
5000km / Umfang des Planeten = alpha / 360°

Den Umfang des Planeten kannst du mit u = 2*r*Pi berechnen.

Jetzt berechne alpha/2 durch halbieren.

Weiter gilt im rechtwinkligen Dreieck MBP:
sin (alpha/2) = PB / r also PB = r*sin (alpha/2)

nur noch verdoppeln FERTIG

Frank

#17

Gegeben: V (Volumen 4,523*10^2 Km^3) und b (Bogenlänge 5000Km)

Gesucht: Grundseite s im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge r und eingeschlossenem Winkel Alpha.

Formel für das Kugelvolumen: V = (4/3)*pi*r^3

==> r = ((3*V)/(4*pi))^(1/3)

Formel für die Bogenlänge: b = (2*pi*r*Alpha)/360 = (pi*r*Alpha)/180

==>Alpha = (b*180)/(pi*r)

Gleichseitiges Dreieck mit gesuchter Seite (Sehne) s und zwei Seiten der Länge r und eingeschlossenem Winkel Alpha:

(s/2)/r = sin(Alpha/2)

==> s = 2*r*sin(Alpha/2)

#18

Hallo,

Ein Planet hat ein Volumen von 4,523*10*10 km³.
Zwei Städte haben, auf der Planetenoberfläche gemessen, eine
gegenseitige Entfernung von a=5000 km. Wie lang ist ein
Tunnel, der die beiden Städte geradlinig miteinander
verbindet.

Durch meine Google suche weiß ich inzwischen das Ergebnis
(4000m) aber wie berechne ich das?

Ganz einfach:

  1. Berechne den Radius der Kugel
    Planeten sind zwar keine perfekten Kugeln, aber näherungsweise können wir davon ausgehen. Der Radius ist die einfachste Beschreibung einer Kugel, von der aus man alle anderen Werte recht einfach berechnen kann. Die Formel lautet:

V = (4/3)*pi*(r^3) (http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel)

=> r = dritte-Wurzel(V * (3/4) * (1/pi)) = 4,76189km

  1. Berechne die Winkeldistanz zwischen beiden Städten
    Da wir die Länge der direkten Linie zwischen beiden Städten wollen, und nicht die gekrümmte Linie a auf der Planetenoberfläche, brauchen wir die Winkelentfernung. (Der Winkel zwischen den beiden Linien, die den Planetenmittelpunkt mit den Städten verbindet.)

alpha = a / r = 5000km / 4,76189km = 1050 rad (nicht Grad)

http://de.wikipedia.org/wiki/Bogenma%C3%9F

In rad entspricht pi = 180°, also ist entweder deine Angabe falsch, oder die Entfernung ist mehrmals um den Planeten herum. Ich rechne also 1050 mod pi = 0,708

  1. Berechne die Entfernung d der Städte
    Die beiden Städte bilden zusammen mit dem Planetenmittelpunkt ein Dreieck. Von diesem kennen wir zwei Seiten (der Abstand vom Mittelpunkt) und den Winkel, haben also ein gleichschenklickes Dreieck mit Schenkellänge r und Winkel alpha.

Um hier weiter zu kommen, teilen wir das Dreieck an der Mitte zwischen den Städten in zwei rechtwinklige Dreiecke, damit wir Sinus und Cosinus verwenden können. Wir kennen von diesem Dreieck den Winkel am Mittelpunkt (alpha/2).

http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus

Also ergibt sich:

sin(alpha/2) = (d/2)/r = d/(2*r)

Wir wollen d wissen, also:

d = sin(alpha/2) * 2*r = 3,30km

So, das stimmt nun nicht mit deinem Ergebnis überein, aber das ist ja auch kein Wunder. Stutzig wurde ich schon bei 5000km Entfernung bei nur 4,7km Radius. Also habe ich auch mal gegoogelt und die Aufgabe gefunden.
Achte bitte nächstes Mal darauf, dass du die Zahlen richtig abschreibst, denn 4,523*10^10 sind nicht 4,523*10*10

Also alles nochmal:
V=4,523*10^10 km^3 = 45230000000 km^3
r = dritte-Wurzel(V * (3/4) * (1/pi)) = 2210,3 km

alpha = b / r = 5000km / 2210,3km = 2,262 rad

d = sin(alpha/2) * 2*r = 4000km

Fand ich jetzt übrigens ziemlich nahe liegend, das so zu machen, und ich bin auch schon 10 Jahre aus der Schule raus :wink:

Gruß
Florian

#19

Ich bin bis zur Hälfte schon auch drauf gekommen. Ich wollt nur net meine komplette Lebensgeschichte posten. Ich hab auch ne Formelsammlung da.

Ich hab nur beim berechnen von dem Winkel nicht mehr Bescheid gewusst.

Vielen dank nochmal für die Hilfe

#20

Kein Problem, dafür sind wir hier ja da :wink: