Hallo Experten,
wir sind an folgender Aufgabe gescheitert, die von einem
Kollegen nach nächtelangem Grübeln nachgebaut wurde. Praktisch
wissen wir nun, wie es geht, allerdings fehlt die Formel, ich
hoffe, hier ist ein Mathe-As, der uns weiterhelfen kann.
In einen Kreis wird ein kleinerer Kreis mit halben Radius an
den untersten Punkt des großen Kreises eingezeichnet.
Kasimir, unser kleiner Krabbelkäfer, der mal wieder von nichts
eine Ahnugn hat, landet nun auf dem Rand des kleinen Kreises
genau auf 09.00 Uhr (am westlichsten Punkt).
Was er mal wieder nicht wußte: er war auf einem Karussell
gelandet, bei dem der kleine Kreis im großen Kreis zu rollen
begann.
Wie groß ist Kasimirs Weg im Karussell bis er wieder an seinen
Ausgangspunkt gelangt, wenn das Karussell sich nun gegen den
Uhrzeigersinn zu drehen beginnt?
Nun, gefühlsmäßig hätte ich gesagt, dem Kasimir wird ganz
schön schlecht 
aber tatsächlich „bewegt“ er sich auf
einer Geraden
Wer kann uns weiterhelfen, mit welchem Ansatz man die Formel
bestimmen kann? Bzw. geht das überhaupt?!?
Aber sicher. Allerdings erspare ich mir, die eigentliche Formel herzuleiten, denn die braucht man nur, wenn das Verhältnis der Kreisradien anders ist.
Die Kurve, die Kasimir beschreibt, nennt man Hypozykloid (s.a. http://de.wikipedia.org/wiki/Zykloide#Epi-_und_Hypoz…).
Um die Rechnung zu vereinfachen, drehe ich ein wenig an den Startbedingungen (am Ergebnis ändert sich dabei nichts):
Der Mittelpunkt M des großen Kreises liegt im Nullpunkt meines Koordinatensystems. Der Mittelpunkt m des kleinen Kreises liegt auf der positiven X-Achse. Der Punkt k auf dem kleinen Kreis liegt dort, wo großer und kleiner Kreis die positive X-Achse schneiden. Den Punkt, an dem sich die zwei Kreise berühren, nenne ich b. Zum Startzeitpunkt ist er logischerweise identisch mit k. Die Radien der zwei Kreise nenne ich ebenso naheliegend R und r.
φ sei der Winkel zwischen der Geraden M-m und der X-Achse; ψ sei der Winkel zwischen der Geraden m-k und der X-Achse (alle Winkel im Bogenmaß).
Nun lasse ich den kleinen Kreis im Uhrzeigersinn rotieren, wodurch er im großen Kreis entgegen dem Uhrzeigersinn abrollt. φ wird also größer, während ψ kleiner wird.
Wenn sich m um den Winkel φ bewegt, tut das auch b , da b immer auf der Geraden M-m liegt. b legt dabei eine Strecke von R * φ zurück.
Auf dem kleinen Kreis bewegt sich b logischerweise genau so weit, wegen des anderen Radius ergibt sich aber ebenso logisch ein anderer Winkel - oder doch nicht?
Würde der kleine Kreis auf einer Geraden abrollen, müsste er sich um ψ = - R * φ / r drehen. Da er aber auf einem Kreis abrollt dreht er sich währenddessen auch noch um den Winkel φ im Uhrzeigersinn, daraus folgt ψ = - R * φ / r - φ = - φ ;
Mit diesem Winkelverhältnis und den Kreisradien könnte man nun eine Ortsfunktion für k aufstellen. Weil das Verhältnis der Radien aber gar so praktisch ist, können wir hier mit dem Rechnen aufhören, wenn wir uns folgendes vorstellen:
Das gleichseitige Dreieck M-m-k. Die zwei gleichen Seiten liegen auf den vorher definierten Geraden M-m und m-k. Läuft man diese Seiten entlang, bewegt man sich also von M ausgehend um die Strecke r mit der Steigung φ , dann nochmal um die Strecke r mit der Steigung -φ. Offensichtlich muß man dabei für jedes φ ; wieder bei y=0 ankommen, d.h. k befindet sich immer auf der X-Achse. Nun müsste man noch schlüssig begründen, daß k auch wirklich bis zum Schnittpunkt des großen Kreises mit der negativen X-Achse kommt, zB indem man φ = π einsetzt, und fertig:
k bewegt sich auf der X-Achse vom einen Schnittpunkt zum anderen und zurück. Die Strecke, die er zurücklegt, bis er zum ersten Mal wieder am Ausgangspunkt ankommt, ist 4R.
Aus der Sicht des armen Kasimir ist das übrigens nicht ganz so harmlos, denn obwohl er sich auf einer Geraden bewegt, dreht er sich dabei um sich selbst, einmal pro „Runde“. Es kann ihm also je nach Geschwindigkeit durchaus schwindlig werden.
genumi
