Matrix vs. Vektor

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

seit einiger Zeit beschäfitge ich mich mit Matrizen und Vektoren udn Vektorräumen. Bin da aber noch Anfänger. Im Prinzip verstehe ich das Meiste auch nur zwei Sachen kann ich mir nicht erklären:

Was nich aber nun über Vektoren lese, verwirrt mich etwas. Bisher kannte ich nur Vektoren die als eine Spalte von Zahlen übereinander geschrieben wurden. Jetzt habe ich aber gelesen, dass es auch Vektoren mit mehreren Spalten gibt und frage mich jetzt, wo der Unterschied zu einer Matrix ist.

In der Schule habe ich auch schon öfter mal ein Skalarprodukt berechnet. Also die Vektorelemente zeilenweise multipliziert. Habe aber jetzt gelesen, dass * für Vektoren nicht definiert sein soll?

Kann mir da bitte jemand etwas Licht ins dunkel bringen

#2

Jetzt habe ich aber gelesen,
dass es auch Vektoren mit mehreren Spalten gibt und frage mich
jetzt, wo der Unterschied zu einer Matrix ist.

Der Unterschied besteht darin, dass zwar jeder Vektor eine Matrix, aber nicht jede Matrix ein Vektor ist. Vektoren sind Matrizen mit nur einer Spalte (Spaltenvektoren) oder nur einer Zeile (Zeilenvektoren).

Habe aber jetzt gelesen, dass * für Vektoren nicht definiert
sein soll?

Natürlich ist das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert. Da Vektoren auch Matrizen sind, kann man es auch als Produkt zweier Matrizen schreiben. Für Spaltenvektoren sieht das so aus:

\vec u \cdot \vec v = u^T \cdot v

Man muss allerdings aufpassen, dass das Skalarpodukt von Vektoren zwar kommutativ aber nicht assoziativ ist und beim Produkt von Matrizen ist es genau umgekehrt.

Es gibt übrigens auch noch ein sogenanntes Tensorprodukt. Das sieht bei Spaltenvektoren so aus: u \cdot v^T. Wie der Name schon vermuten lässt, ist das Ergebnis kein Skalar, sondern eine quadratische Matrix (also ein Tensor zweiter Stufe).

Und als ob das nicht schon reichen würde, gibt es auch noch das Kreuzprodukt.

Langer Rede kurzer Sinn: Der Mulplikationsoperator ist auch für Vektoren definiert, aber es muss erkennbar sein, was damit konkret gemeint ist. Üblicherweise bezeichnet man damit das Skalarprodukt. Wenn nicht, dann sollte man es dazu schreiben. Besser ist die Verwendung der Matrizenschreibweise und wer ganz sicher gehen will, kann die Komponentenschreibweise verwenden (gern auch mit Einsteinscher Summenkonvention).

#3

Hi,

die Vektoren, die Spalten sind, nennt man Spaltenvektoren. Daneben gibt es auch Zeilenvektoren. Man kann jeden endlichdimensionalen Vektorraum durch einen Spaltenvektorraum darstellen, deshalb tauchen die so häufig auf.

Jetzt kommt es dicke: Auch Matrizen sind Vektoren. Genauer bilden alle Matrizen des selben Formats einen Vektorraum. Man kann sie addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren (so dass alle Axiome eines Vektorraums erfüllt sind). Mehr braucht es nicht zum Vektorraum. Man kann sich das auch so vorstellen, dass es für diese Operationen egal ist, ob man die Komponenten der Matrix in Rechteckform oder alle Spalten untereinander als langen Spaltenvektor schreibt.

Im Allgemeinen gibt es kein Produkt von Vektoren, was einen Vektor als Ergebnis hat. Das Kreuzprodukt im Dreidimensionalen ist eine Ausnahme. Sehr oft aber stattet man einen Vektorraum mit einem Skalarprodukt aus, einen Spaltenvektorraum z.B. mit dem von Dir erwähnten euklidischen Skalarprodukt. Das ergibt immer eine reelle Zahl als Wert, eine Skalar. Es ist aber nicht das einzig mögliche. Jeden Summanden darin kann man z.B. mit einem positiven Faktor versehen, und es bleibt ein Skalarprodukt.

Gruß Lutz

#4

Hi,

erst mal Danke für die schnelle Antwort.

Um sicher zu gehen, dass ich es richtig verstanden habe, noch eine Frage:

Im Allgemeinen gibt es kein Produkt von Vektoren, was einen
Vektor als Ergebnis hat. Das Kreuzprodukt im Dreidimensionalen
ist eine Ausnahme. Sehr oft aber stattet man einen Vektorraum
mit einem Skalarprodukt aus, einen Spaltenvektorraum z.B. mit
dem von Dir erwähnten euklidischen Skalarprodukt.

Dann ist also in einem „Standard“-Vektorraum erst mal die Multiplikation von Vektoren nicht definiert. Wenn man eine Multipikation benötigt, definiert man einfach die passende Abbildung für den Vekorraum und fertig?

#5

Guten Morgen,

zunächst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort.

Der Unterschied besteht darin, dass zwar jeder Vektor eine
Matrix, aber nicht jede Matrix ein Vektor ist. Vektoren sind
Matrizen mit nur einer Spalte (Spaltenvektoren) oder nur einer
Zeile (Zeilenvektoren).

Hier habe ich noch eine Frage. Wenn Mmn(K) (das sollen die m x n-Matrizen über dem Körper K sein) ein Vekorraum ist, wie kann es dann eine Matrix geben, die kein Vektor ist? Kannst du dass bitte an einem Beispiel erklären?

#6

Hi,

das kommt darauf an, was Du unter „Multiplikation“ verstehen willst. Zahl mal Vektor muss immer funktionieren, sonst wäre es kein Vektorraum. Skalarprodukte sind auch kein Problem, da ist es eher wichtig, das „richtige“ zu wählen.

Aber „Vektor mal Vektor ergibt Vektor“ kann man nicht so einfach basteln. Man kann sich zwar Abbildungen
w=M(u,v)
dieses Formats bauen, die in beiden Argumentvektoren linear sind, und die auch symmetrisch sind. Aber das Assoziativgesetz
M(M(u,v),w)=M(u,M(v,w))
hinzubekommen ist in den meisten Fällen unmöglich. Oder man landet im Unendlichdimensionalen, z.B. im universalen Tensorprodukt.

S. auch Quaternionen, Oktonionen, Clifford- und Lie-Algebren.

Gruß Lutz

PS: Unten war gemeint, dass eine Matrix im Allgemeinen kein Vektor in der Gestalt eines Zeilen- oder Spaltenvektors ist. Was im Rahmen der Schulmathematik sinnvoll ist, Uni erstes Semester aber nicht mehr.

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#7

Danke,

jetzt ab ich es verstanden.

Aber „Vektor mal Vektor ergibt Vektor“ kann man nicht so
einfach basteln.

Es war im Script wohl auch nur dieses gemeint, das nicht definiert ist. Hatte aber verstanden, dass das Skalarprodukt nicht definiert sei.

Danke und schönes Wochenende…

#8

Der Unterschied besteht darin, dass zwar jeder Vektor eine
Matrix, aber nicht jede Matrix ein Vektor ist. Vektoren sind
Matrizen mit nur einer Spalte (Spaltenvektoren) oder nur einer
Zeile (Zeilenvektoren).

Hier habe ich noch eine Frage. Wenn Mmn(K) (das sollen die m x
n-Matrizen über dem Körper K sein) ein Vekorraum ist, wie kann
es dann eine Matrix geben, die kein Vektor ist? Kannst du dass
bitte an einem Beispiel erklären?

Lutz’ Aussage, dass alle Matrizen Vektoren sind, hat mich überrascht. Das wußte ich noch nicht, als ich meine Antwort schrieb. Aber obwohl er offensichtlich Recht hat, erscheint es mir nicht sonderlich sinnvoll, verschiedene Begriffe für denselben Sachverhalt zu verwenden. Wenn alle Matritzen Vektoren sind und umgekehrt, dann ist einer dieser beiden Begriffe überflüssig.

#9

Hi,

dann halt Dich fest: Alle Tensorprodukträume, egal wie viele Faktoren, sind auch Vektorräume.

Ein Matrixraum, oder ein Raum linearer Abbildungen, ist eben ein Vektorraum mit zusätzlicher Struktur.

Solche Ketten von allgemeinen zu immer spezielleren Begriffen sind in der Mathematik üblich:

metrischer Raum > normierter Raum > Hilbertraum > euklidischer Raum

Monoid > abelsche Gruppe > Ring > Körper

usw.

Gruß Lutz

#10

dann halt Dich fest: Alle Tensorprodukträume, egal wie viele
Faktoren, sind auch Vektorräume.

Das reißt mich jetzt nicht mehr vom Hocker. Ich muss mich nur noch daran gewöhnen, dass ganz im Gegenteil zu meiner bisherigen Meinung zwar alle Matrizen Vektoren, aber nicht jeder Vektor eine Matrix ist. Bisher habe ich Vektoren nur aus Sicht der analytischen Geometrie betrachtet und da ist das ein Dingsbums mit Richtung und Länge. Inzwischen habe ich mich darüber belehren lassen, dass man damit in der linearen Algebra auch ganz andere Sachen meint.