Hallo, meine Tochter hat am Mittwoch Mathematik-Matura, kennt sich aber leider bei den Tangenten und Vektoren nicht sehr gut aus.
So weiss sie z.B. nicht genau, wie sie eine Tangente anzeigt. Gibt es da eine theoretische Beschreibung, wie man das lösen kann? Notfalls könnte ich auch ein konkretes Beispiel nachreichen.
Danke im Voraus.
LG, Eva Schmid
Hallo Eva,
ein konkretes Beispiel wäre vielleicht hilfreich, damit man versteht, was „eine Tangente anzeigen“ bedeuten soll.
Gruß von Ph33
Hi,
geht es jetzt um Tangenten an Kurven(Differential und Integralrechnung)
oder um Tangenten im 3-Dimensionalen zB an einer Kugel(Vektoren)
Allgemein: Eine Tangente ist eine Gerade(also schon mal die Grundformel einer Geraden notieren), die eine Figur in einer Umgebung nur einmal tangential schneidet. Die erwähnte Gerade muss 2 Eigenschaften haben. Sie muss durch den Schnittpunkt gehen und die Steigung der Geraden im Schnittpunkt muss gleich der Steigung der anderen Figur im Schnittpunkt sein.
In der Differentialrechnung käme man an die exakte Steigung einer Kurve in einem Punkt mit der ersten Ableitung der Kurve.
Bei Vektoren käme man an den Richtungsvektor mit Überlegungen wie:
Der r-Vektor ist parallel zu… oder der r-Vektor ist senkrecht zu…
MFG
Hallo, anbei das konkrete Beispiel, um das es geht:
Die Kurve k:y = 1/5(x²+5) enthält den Punkt P(5/y). Die Kurve, die beiden positiven Koordinatenachsen und die Tangente in P begrenzen ein Flächenstück. Zeichne die Kurve und die Tangente, markiere das gesuchte Flächenstück und berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der bei Rotation a) um die x-Achse und b) um die y-Achse entsteht!
Danke im Voraus.
LG, Eva
Hallo,
Die Kurve k:y = 1/5(x²+5) …
also eine nach oben geöffnete Parabel, die spiegelsymmetrisch zur y-Achse ist. Sie geht nicht durch den Ursprung, sondern ihr Scheitelpunkt liegt bei (0, 1).
…enthält den Punkt P(5/y).
Die y-Koordinate von P ist der Funktionswert von 1/5(x² + 5) an der Stelle x = 5, also 1/5 (5² + 5). Das ist gleich 6; der Punkt ist somit P (5 | 6).
Die Kurve, die beiden positiven Koordinatenachsen und die Tangente in P
Die Tangente an P ist eine Gerade, die den Punkt P mit der Kurve 1/5 (x² +5) gemeinsam hat, und außerdem jene Steigung besitzt, die die Kurve in P hat. Daraus lässt sich die Tangente bestimmen. Da die Kurve 1/5 (x² + 5) an der Stelle x die Steigung 2/5 x hat, hat sie an der Stelle x = 5 die Steigung 2. Daraus folgt die Gleichung der Tangente zu t(x) = 2 (x – 5) + 6 oder t(x) = 2x – 4. (Eine Gerade g durch den Punkt (x0 | y0) mit der Steigung m wird durch g(x) = m (x – x0) + y0 beschrieben, oder g(x) = m x + y0 – mx0).
Zeichne die Kurve und die Tangente, markiere das gesuchte Flächenstück
Sollte machbar sein. Für die Parabel würde ich eine Mini-Wertetabelle hinkritzeln mit x = 0, 1, 2, …, 6 als Input. Das reicht zum Skizzieren des Graphen. Die Tangente ist sowieso kein Problem: Dicken Klecks auf P(5 | 6) malen, Lineal anlegen und dann die Tangente mit Steigung 4 durchziehen.
und berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der bei Rotation a) um die
x-Achse
Wenn Deine Tochter diese Formel
V_{\rm Rot} = \pi \int_a^b f^2(x) dx
kennt, ist das sehr gut, denn sie gibt das Volumen eines Rotationskörpers bei Drehung des Graphen der Funktion f(x) um die x-Achse an.
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper
Zur Lösung der hiesigen Aufgabe müssen die Volumina zweier Rotationskörper voneinander subtrahiert werden. Warum ist aus der Skizze ersichtlich.
Ich schreibe nur die Endformel ohne Auswertung hin:
\pi \int_2^5 (2x - 4)^2 dx
und b) um die y-Achse entsteht!
Das ist etwas anspruchsvoller. Die Umkehrfunktion der Parabel ist \radic;(5 (x – 1)) und die der Tangente 1/2 x + 2.
\pi \int_1^6 \big(\sqrt{5(x-1)}\big)^2 dx
Ich wünsche Deiner Tochter viel Erfolg.
Gruß
Martin
Hallo, kurze Frage: wie kommst du auf die Steigung der Kurve von 2/5 x?
Hallo, kurze Frage: wie kommst du auf die Steigung der Kurve
von 2/5 x?
Steigung = erste Ableitung:
f(x) = \frac{1}{5} (x^2 + 5)
\quad
\Rightarrow
\quad
f’(x) = \frac{2}{5} x
Danke 
Und wie komme ich auf den Scheitelpunkt bei bei (0, 1)?
Und wie komme ich auf den Scheitelpunkt bei bei (0, 1)?
Die Parabel ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse, deshalb muss ihr Scheitelpunkt auf der y-Achse liegen. Die Scheitelpunkt-x-Koordinate ist also Null, und somit die Scheitelpunkt-y-Koordinate der Funktionswert von 1/5 (x² + 5) an der Stelle Null und der ist 1/5 (0² + 5) = 1.
Die Spiegelsymmetrie zur y-Achse kann man direkt aus dem Funktionsterm ablesen: Da nur x² darin vorkommt, ist f(–x) = f(x) offensichtlich.