Hallo Experten, ich habe über eine Hinrunden-Bundesligatabelle nachgedacht. Danach sollen bei 18 Teams 153 Spiele stattgefunden haben (jeder gegen jeden einmal). Angenommen (3-Punkte-Regel, 3 Punkte für das siegreiche Team, jeweils 1 Punkt für ein Team bei Unentschieden), am Ende der Hinrunde haben alle Teams eine unterschiedliche Punktzahl, wie hoch ist dann die Maximalpunktzahl des Letzten der Tabelle? Sorry, dass ich euch nicht weiterhelfen kann, ich habe nämlich keinen Plan, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Nur soviel: die Gesamtpunktzahl aller Mannschaften bewegt sich zwischen 306 und 459 Punkten (ersteres bei nur Unentschieden, letzteres bei nur Siegen/Niederlagen. Bitte seid mir nicht böse, aber für jeden Tipp wäre ich euch sehr dankbar!
Grüße Thomas
Hallo,
hast Du Deine Antwort nicht schon selbst gegeben? Bei nur Unentschieden wird gelost und dann hat der Letzte eben 17 Punkte.
Dann teile doch mal die höchst mögliche Gesamtpunktzahl durch die Anzahl der Mannschaften. Vielleicht hilft dir das weiter?
hi,
dann bin ich bei maximal 8 Punkten.
Grundannahme: Alle Spielen unentschieden, alle haben 17 Punkte.
Das darf aber nicht.
Mannschaft 1-9 gewinnt gegen den Block 10-18. jedoch jeweils ein mal weniger.
M1 gewinnt gegen alle 10-18
M2 gegen 11-18
M3 gegen 12-18 … usw.
M1 bekommt also durch diese 9 Spiele 18 Punkte dazu und hat 35.
M2 bekommt 8 Spiele 16 dazu usw.
Je 2 Abstand. Also kein Gleichstand.
M9 gewinnt nur noch gegen M18 und hat somit 19 Punkte.
M10 hingegen verliert 1 Punkt auf 16.
M11 verliert 2… M18 verliert 9 Punkte.
17-9 = 8 Punkte.
Ebenso kein Gleichstand zu erwarten.
grüße
lipi
Es kommen aber höhere Punktanzahlen raus, wenn es möglichst wenig Unentschieden gibt. Ein Sieg und eine Niederlage geben 3, zwei Unentschieden nur 2 Punkte.
hi,
ja, aber dann kann jedes Team entweder 3 Punkte bekommen oder eben nichts, was zu gleichen Punktzahlen führt bzw. zu dem Problem dass alle 3 Punkte Abstand haben.
Der Erste so zwar 51 Punkte hat, der Letzte aber 0 (was weniger als 8 ist).
Sollte ich eine Möglichkeit übersehen haben, wäre es nett genauer zu werden.
grüße
lipi
Ich glaube, du musst die Anzahl der Unentschieden so weit wie möglich verringern. In deinem Beispiel spielt z. B. die beste Mannschaft gegen 8 andere Mannschaften unentschieden, oder? Wenn sie vier mal gewinnt und vier mal verliert, hat sie insgesamt 4 Punkte mehr.
Aufgrund der Menge an Parametern und ohne Tabelle dürfte eine zuverlässige Bestimmung der Maximalpunktzahl (also aus den Informationen, dass 18 Teams gegeneinander spielen, Sieg 3 Punkte, Remis 1 Punkt, Verlust 0 Punkte, Information „ein x-bel. Team hat z.B. 20 Punkte“ -> letzter Platz) schwierig werden. Immerhin könnte ein anderes Team < 20 Punkte haben…
guten morgen,
richtig, Jede Mannschaft spielt im Prinzip 8 mal unentschieden, was den 8 Punkten des Letzten entspricht. Danach führen die Gewonnenen Spiele lediglich zur Verteilung der Mannschaften, da alle eine andere Punktzahl haben sollen.
ja schon, und dann?
Kannst du den Ansatz mal skizzieren damit man sich vorstellen kann, wie es danach weiter geht?
genau das wurde gemacht,
ich verstehe die Aussage deines Textes vermutlich nicht oder ich habe mich undeutlich ausgedrückt.
Obwohl ich mir mühe gab es recht eindeutig zu formulieren.
Spielplan
Folge deinem Gedanken mal bis zum Schluss.
Wenn alle Gewinnen und man mit Unentschieden ergänzt, erzielt man nur einen Effekt: Die ersten Plätze haben einen Punkt Abstand und die Letzten dafür 2 Punkte Abstand zueinander.
Der Letzte hat jedoch wieder 8 Punkte.
Es gibt lediglich mehr Gewonnenen/verlorene Spiele und weniger unentschieden.
Als gedankliche Stütze: ja, mehr Siege/Niederlagen bringen mehr Punkte.
Diese verbrauchen sich jedoch, da der Abstand der Tabellenbesten nur noch 1 Punkt beträgt und somit jede folgende Mannschaft diesen Punkt ‚verbraucht‘.
So rein optisch könnte es möglich sein, dass man derart Umsortiert, dass man Mannschaften mit 2 Punkten Unterschied eines der Unentschieden verlieren lässt und eins Gewinnen lässt. Was einen Punkt mehr bedeutet und den Abstand untereinander verringert.
Das führt aber unmittelbar zu Punktegleichheit in der Tabelle.
zudem sind Siege und Niederlagen ausgeglichen (logisch, ein Gewinner erzeugt einen Verlierer), wodurch die Mannschaften mit wenigen Punkten noch weniger Punkte haben und der Letzte so nicht mehr haben kann.
Da die besseren Mannschaften jedoch 2 Punkte Abstand haben wird der absolute Abstand zum Tabellenersten größer. Die zu vergebenden Punkte je Spiel bleiben jedoch gleich. Was zwangsweise bedeutet, eine Mannschaft im Mittelfeld muss mehrere Spiele gewinnen um aufzuschließen.
Was uns zu obiger Feststellung bringt: Ein Gewinn (ohne ausgleichendes verlieren) senkt den Punkteschnitt der schlechteren Mannschaften weiter.
grüße
lipi
Weitere Überlegung: Wenn Alle die Hälfte ihrer Spiele gewinnen und die Hälfte ihrer Spiele verlieren, dann sind am Ende alle punktgleich und das Torverhältnis entschiedet. Damit wären wir auch bei der maximalen Punktzahl.
Bedingung soll aber sein, dass die Mannschaften unterschiedliche Punktzahl haben. Du hast wie @hroptatyr nicht genau gelesen.
Dann ziehen wir eben noch 9 Punkte ab.
Ich weiß nicht, wo dein Fehler liegt, dazu reicht mein mathematisches Wissen überhaupt nicht aus. Ich habe aber empirisch festgestellt, dass du dich leider irrst:
- Bundesliga (spielt ja mathematisch keine Rolle), Spielzeit 2018/19, 17. Spieltag:
Der letzte, Ingolstadt, hatte 10 Punkte.
Damals gab es 8 Mannschaften, die jeweils die gleiche Punktzahl hatten, wie eine andere Mannschaft. Nun kann man ganz leicht vier Spiele so verändern, dass alle Mannschaften eine andere Punktzahl gehabt hätten und Ingolstadt dennoch mit 10 Punkten Letzter geblieben wäre.
Meine Vermutung ist, dass die Lösung bei 17 oder etwas darunter liegt (25,5 Mittelwert - 8 Tabellenplätze).
Vielleicht kannst du oder ein anderer es ja noch lösen!
Karl
Vorab bedanke ich mich schon mal bei allen,
die sich über das Problem den Kopf zerbrochen haben. Mit so viel Resonanz hätte ich nicht gerechnet!
Thomas
Ich habe mal meine neue Lieblings-KI mit der Eingangsfrage gefüttert. Hier ist die komplette Antwort:
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Struktur der Bundesliga-Hinrunde und die möglichen Punktverteilungen analysieren.
Analyse der Bundesliga-Hinrunde
In der Bundesliga spielen 18 Teams, und in der Hinrunde spielt jedes Team genau einmal gegen jedes andere Team. Dies ergibt tatsächlich 153 Spiele insgesamt (1) (5).
Berechnung der maximalen Punktzahl des Tabellenletzten
Um die maximale Punktzahl des Tabellenletzten zu ermitteln, müssen wir folgende Bedingungen berücksichtigen:
- Alle Teams haben unterschiedliche Punktzahlen.
- Der Tabellenletzte soll die höchstmögliche Punktzahl haben.
Die optimale Strategie, um die maximale Punktzahl für den Letzten zu erreichen, ist wie folgt:
- Der Tabellenletzte gewinnt so viele Spiele wie möglich.
- Die Punkte der anderen Teams werden so verteilt, dass jedes Team genau einen Punkt mehr hat als das nächstplatzierte Team.
Berechnung
- Jedes Team spielt 17 Spiele (gegen jedes andere Team einmal).
- Die Punkteverteilung beginnt beim Tabellenersten mit 51 Punkten (17 Siege) und endet beim Vorletzten mit 18 Punkten.
- Der Tabellenletzte kann maximal 17 Punkte erreichen.
Die Punkteverteilung würde so aussehen:
51, 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 18, 17Ergebnis
Die maximale Punktzahl des Tabellenletzten beträgt somit 17 Punkte. Diese Punktzahl kann durch 5 Siege und 2 Unentschieden erreicht werden: (5 * 3) + (2 * 1) = 15 + 2 = 17 Punkte Es ist nicht möglich, dass der Tabellenletzte mehr Punkte hat, da sonst die Bedingung, dass alle Teams unterschiedliche Punktzahlen haben, nicht erfüllt wäre.
moin,
ich glaub ich stehe irgendwo aufm Schlauch und sehe es nicht.
Hilf mir mal jemand da runter.
Bei 153 Spielen kann jedes maximal einmal gewonnen werden. Es gibt also maximal 153 * 3= 459 Punkte zu holen.
Die Summe dieser Lösung beträgt aber 731 Punkte.
Wie kann das sein?
Zudem:
Wenn der Erste 51 Punkte erreicht, hat er alles Gewonnen.
Der Zweite hat also mindestens einmal verloren, gegen eben den ersten.
Wie kann er dann 50 Punkte haben? Ihm Fehlen doch mindestens 3?
grüße
lipi
Freut mich, dass die KI mich bestätigt 
Leider ist das, was die KI unter „Berechnung“ besteht, ja gar keine. Wie die KI auf das Ergebnis gekommen ist und ob es wirklich richtig ist, bleibt ihr kleines Geheimnis.
Ich hoffe, dass einer der hier im Forum ja ausreichend vorhandenen kompetenten Mathematiker uns auf die Sprünge hilft!
Nein, das kann nicht sein. Dann hat die KI also offenbar Unsinn erzählt…
Ja, großer Unsinn, 50 Punkte sind mathematisch unmöglich:
17 Siege x 3 = 51
16 Siege + 1 Unentschieden = 49 Punkte
Pierre, @Metapher sagt ja immer, man muss die KI präzise genug fragen. Vielelicht kannst du da noch nachschärften?
Ein paar Formeln (evtl. auch zum „Nachschärfen“ mit oder ohne KI):
a = Anzahl Siege // b = Anzahl Unentschieden // c = Anzahl Niederlagen
(a * 3) + (b * 1) + (c * 0) = Punkte pro Mannschaft ( bei max. 17 Siegen also max. 51 Punkte )
a+b+c = 17 <==> a = 17 - (b+c) <==> b = 17 - (a+c) <==> c = 17 - (a+b)
Ohne „Nachschärfen“ (z.B. die Nebenbedingung der zwingend unterschiedlichen Ergebnisse) bleiben drei Unbekannte und zwei Gleichungen. Damit gibt es kein eindeutiges Ergebnis (z.B. die Erkenntnis, dass 14 Punkte zwingend den letzten Platz bedeuten. Oder das die letzte Mannschaft nicht mehr als 17 Punkte erzielt haben kann)
Wenn man die Quellen prüft sollte das Ergebnis der KI aber eigentlich nicht verwundern. Zumindest der obere Teil der Antwort ist offensichtlich eine Mischung aus Tabellen ohne direkten Bezug und genau dieser Diskussion hier. Der untere Teil wird nicht besser sein.