Maximaler Abstand zwischen Parabel und Geraden

[Ramona_Faber]

Neulich hatte ich mal eine Aufgabe gepostet es war das u gesucht, für das ein Rechteck den kleinstmöglichen Umfang hatte. Mir wurde hier auch wunderbar geholfen.

Jetzt habe ich meine Erkenntnisse aus der Aufgabe auf eine andere Aufgabe übertragen.

Meine Frage ist jetzt nur (in Ermangelung eines Lösungsheftes) ob das Ganze richtig gedacht ist?

Zunächst die Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=-x^2+4; x Element R

Das Schaufild von f ist K_f .

Die Gerade mit der Gleichung x= u(-1g im Punkt Q

Nebenan ist eine Skizze und man sieht das K_g durch (-1/2) und (2/0) geht, was auch Schnittpunkte mit der Parabel sind.

a) Bestimmen Sie den Abstand zwischen P und Q für u=1

Soweit noch recht einfach würde ich sagen

Ich setzte um P heraus zu bekommen einfach 1 in die Parabelgelichung ein:

-1^2+4=3 --> P(1/3)

um Q heraus zu bekommen brauche ich zunächst die Gleichung der Geraden die mit der zwei Punkte Form lautet:

g(x)=-x+2

auch hier brauche ich nur 1 einsetzen:

-1+2=1 --> Q(1/1)

Nun brauche ich nix weiter zu tun als die beiden y-Werte voneinander ab zu ziehen und voila:

Abstand PQ = 2

So jetzt kommt

b)Wie ist u zu wählen, damit der Abstand von P und Q am größten wird.

zunächst dachte ich hätte nicht genug Daten, dann habe ich mich aber mit Hilfe der Idee aus der anderen Aufgabe dran gemacht und hoffe jetzt, alles richtig überlegt zu haben.

Zunächst habe ich mir allgemein überlegt was das bedeutet:

P bekomme ich so: f(u_max)= - u_max²+4
Q bekomme ich so: g(u_max)= - u_max+2f(u_max)= y_p
g(u_max)=y_q

und den Abstand erhalte ich indem ich y_p-y_q berechne.

Da ich hier aber nur 2 Gleichungen aber 3 Unbekannte habe habe ich zunächst ein Problem.

beide habe ich nun nach 0 aufgelöst, so dass ich erhalte:

• u_max²+4-y_p=0
• u_max+2-y_q=0

Wenn ich nun beide gleichsetze und den x-Wert der Extremstelle berechnen könnte, dann hätte ich doch meine Lösung, oder?

also:

• u²+4-y_p = - u+2-y_q
  
  ergibt wenn ich mich nicht verrechnet habe:

• u²+u-2-y_p+y_q =0

Der hintere Teil, also -2-y_p+y_q  íst ja im Prinzip meine Zahl also das c aus der Form

f(x)=ax²+bx+c

Dieses c hat aber keinen Einfluss auf meinen x-Wert bei der Extremstelle, dieser ist sowohl bei f(x)=ax²+bx+c als auch bei f(x)=ax²+bc gleich

Also nehme ich nur den Vorderen Teil und berechne die Nullstellen:

• u²+u=0
  u(-u+1)=0
  u₁=0
  u₂=1

Da es eine Parabel ist und diese Symetrisch ist muss also meine Extremstelle genau in der Mitte der Beiden Nullstellen sein.

Somit wäre das gesuchte u_max=0,5

Meine Frage ist jetzt ganz simpel. Sind meine Überlegungen richtig, oder habe ich es mir doch etwas zu einfach vorgestellt?

Ich danke euch!

[Nico_17312e]

Hallo,

um Q heraus zu bekommen brauche ich zunächst die Gleichung der
Geraden die mit der zwei Punkte Form lautet:
g(x)=-x+2

Das stimmt nicht ganz. Wenn die Gerade durch die Punkte (-1, 2) und (2, 0) gehen soll, braucht sie auf jeden Fall einen Anstieg von -2/3 (=dy/dx).
Der Rest stimmt bis hierhin.

P bekomme ich so: f(u_max)= - u_max²+4
Q bekomme ich so: g(u_max)= - u_max+2

f(u_max)= y_p
g(u_max)=y_q

und den Abstand erhalte ich indem ich y_p-y_q berechne.

Soweit, so gut. Aber danach wird es doch etwas heiter. Mach dir das Leben doch nicht schwerer, als es ist. Einfach alles einsetzen, was du hast und dann bist du fast fertig (ich gehe mal weiter von der falschen Gleichung für g aus)
abstand(u) = yp-yq = f(u) - g(u) = -u^2+4 - (-u + 2) = -u^2+4 + u + 2 = -u^2 + u + 6
Diese Funktion kann man dann mit einem beliebigen Verfahren minimieren. Deine Überlegungen zur Parabel sind korrekt. Mit ein bisschen Differentialrechnung wird das aber noch einfacher, da nicht mal mehr eine quadratische Gleichung gelöst werden muss:
abstand ’ (u) = -2 * u + 1
abstand ’ (umax) = 0 = -2 * umax + 1
umax = 1/2
Die Prüfung, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, kann hier entfallen.
Du bist also ziemlich umständlich auf dieselbe Lösung gekommen. Wohlgemerkt immer noch mit der falschen Gleichung für g.

Nico

[Martin]

Hallo,

Nebenan ist eine Skizze und man sieht das K_g durch (-1/2) und
(2/0) geht, was auch Schnittpunkte mit der Parabel sind.

ich gehe mal davon aus, dass der „linke“ Punkt nicht (–1 | 2) ist, sondern (–1 | 3 ), denn (–1 | 2) liegt nicht auf der Parabel und ist somit auch kein Gerade-Parabel-Schnittpunkt.

f(x) = 4 – x²
g(x) = 2 – x

a) Bestimmen Sie den Abstand zwischen P und Q für u=1

Einzeiler-Antwort: Dieser Abstand beträgt f(1) – g(1) = 4 – 1² – (2 – 1) = 2

b) Wie ist u zu wählen, damit der Abstand von P und Q am größten wird.

Die richtige u-Wahl dafür ist die Mitte zwischen den x-Koordinaten der beiden Parabel-Gerade-Schnittpunkte (–1 | 3) und (2 | 0), also die Mitte zwischen –1 und 2, also u_max = 1/2. Begründung: Der PQ-Abstand ist gegeben durch die Differenzfunktion f(u) – g(u), welche als Differenz einer quadratischen Funktion (f) und einer linearen Funktion (g) wiederum eine quadratische Funktion ist, und zwar hier eine, die bei –1 und 2 ihre Nullstellen hat. Ihr Maximum liegt aus Symmetriegründen genau dazwischen.

Das kannst Du sogar noch stark verallgemeinern: Irgendeine Gerade g möge von irgendeiner nach unten geöffneten quadratischen Parabel f ein Stück ihrer Spitze abschneiden. Dann existieren zwei Parabel-Gerade-Schnittpunkte, deren x-Koordinaten mit x₁ und x₂ bezeichnet sein sollen. Der maximale Senkrechtabstand zwischen f und g wird dann genau in der Mitte zwischen x₁ und x₂ erreicht, also an der x-Koordinate (x₁ + x₂)/2. Dort liegt der untere Punkt (in Deiner Aufgabe „Q“) dann auf g just zwischen den beiden Parabel-Gerade-Schnittpunkten.

Du kannst den Aufgabenteil (b) natürlich auch mit „mehr Rechnung“ lösen (siehe dazu auch Nicos Antwort). Probier es ruhig nochmal, aber lass dann bitte die unseligen Variablen y_p und y_q komplett raus. Sie sind überflüssig! Du gibst damit nur den Größen f(u) und g(u) nochmal neue Namen, ohne dass dies einen Sinn machen würde, denn sie sind ja schon mit f(u) und g(u) eindeutig benannt. Das Kreieren redundanter Variablen zeitigt im Lauf der Rechnung oft Verwirrung oder „komische Effekte“ – wie Du ja selbst erfahren hast. Deshalb sollte man das sorgfältig vermeiden, also beim Einführen von Variablen (oder neuer Variablen) immer sparsam sein und nur in die Welt setzen, was aus gutem Grund gerechtfertigt erscheint. Wenn Du das verstanden hast, konnte Dir diese Aufgabe etwas mitgeben, das über die bloße Lösungsfindung weit hinausgeht.

Alles klar?

Gruß
Martin

[Ramona_Faber]

Vielen Dank,

Das ist wirklich nochmal eine vereinfachte und elegante Lösung. Aber es sollte ohne Differentalrechnung gehen. Die ist nämlich zu dem Kapitel noch nicht behandelt. Obwohl ich ja durchaus in der Lage bin sie zu verstehen. Ich danke dir und nehme das mit.

Übrigens die Gleichung für g ist richtig. Nur den Punkt habe ich bei der Übertragung falsch abgeschrieben. Die Gerade geht nämlich durch (-1/3) - Entschuldige diesen Fehler.

Danke nochmals. Das ist toll.