Hallo,
ein Gewässer mit 2 gegenüberliegenden Häfen mit jeweils einem Schiff. Beide fahren gleichzeitig los zum jeweils gegenüberliegenden Hafen. Konstante Geschwindigkeit, aber unterschiedlich schnell. Als sie sich begegnen, sind sie 300m vom näher liegenden Ufer entfernt. Beide bleiben 10 Minuten im Hafen und fahren dann wieder zurück zum anderen Hafen. Als sie sich jetzt begegnen, sind sie 50 m vom näher liegenden Ufer entfernt.
Wie breit ist der Fluss?
Gruß
Tefan
spoiler (weniger schiffverkehr!)
hi,
willst du die lösung wissen oder willst du nur ein rätsel stellen, von dem du die lösung schon kennst?
anyway:
ein Gewässer mit 2 gegenüberliegenden Häfen mit jeweils einem
Schiff. Beide fahren gleichzeitig los zum jeweils
gegenüberliegenden Hafen. Konstante Geschwindigkeit, aber
unterschiedlich schnell.
zeitpunkt t = 0.
geschwindigkeiten v1 und v2.
v1 > v2 … das erste boot sei das schnellere
es gilt allgemein: v = Weg/Zeit = s/t (weil geschwindigkeit konstant)
also: v . t = s
also: t = s/v
gesucht (s.u.) ist x … die entfernung der beiden landestätten
Als sie sich begegnen, sind sie 300m
vom näher liegenden Ufer entfernt.
ich nenne den zeitpunkt des treffens t1. dauer t1 nach dem zeitpunkt 0, der gemeinsamen abfahrtszeit.
wir befinden uns an dem punkt näher an der landestelle, von der das langsamere schiff weggefahren ist. also hat das langsamere hier 300 m zurückgelegt und das schnellere x-300 m.
beide haben dafür gleich lang (gleich viel zeit) benötigt.
also:
300/v2 = (x-300)/v1
oder:
v1 = (x-300)/300 . v2
beide haben zu diesem zeitpunkt zusammen (!) das gewässer einmal überquert, also die strecke x zurückgelegt. diese strecke ist mehr als 600 m lang.
Beide bleiben 10 Minuten im
Hafen und fahren dann wieder zurück zum anderen Hafen.
gedankenexperiment: wenn sie beide sofort wieder zurückkehren würden, verlagert sich die ganze geschichte 10 minuten nach vorne. wenn sie beide exakt 10 stunden bleiben würden, verlagert sich die ganze geschichte 10 stunden nach hinten.
nachdem sie beide gleich lang bleiben, ist diese zeitdauer also irrelevant.
(und übrigens: wenn es einen moment gäbe, an dem sie beide gemeinsam in ihrem jeweiligen häfen liegen, hätten sie in diesem moment beide zusammen die strecke 2x zurückgelegt.)
Als sie
sich jetzt begegnen, sind sie 50 m vom näher liegenden Ufer
entfernt.
zu diesem zeitpunkt t2 haben beide schiffe zusammen das gewässer exakt 3 mal überquert, also insgesamt die strecke 3x zurückgelegt. davon hat das schnellere schiff 2x-50 und das langsamere schiff
x+50 hinter sich gebracht.
beide haben dafür gleich lang gebraucht (dauer t2):
(2x-50)/v1 = (x+50)/v2
oder
v1 = (x+50)/(2x-50) . v2
also:
(2x-50)/(x+50) = (x-300)/300
also:
600x - 15000 = x² - 300x + 50x - 15000
also:
850x = x²
Wie breit ist der Fluss?
x = 850
allgemein:
setz statt 300 m die länge L1 und statt 50 m die länge L2, also jeweils bei treffpunkt die entfernung zum jeweils näheren ufer.
dann bekommst du die gleichung
(x - L1)/L1 = (2x - L2)/(x + L2)
bzw.:
x² = x . (3L1 - L2)
also:
x = 3L1 - L2
m.
eine zweifellos richtige, wenn auch etwas aufwendige lösung. dabei geht es auch einfacher:
zu diesem zeitpunkt t2 haben beide schiffe zusammen das
gewässer exakt 3 mal überquert, also insgesamt die strecke 3x
zurückgelegt.
demnach ist t2 das dreifache von t1 (wo die beiden gemeinsam genau die strecke x zurückgelegt haben). das langsamere schiff hat in t1 300m zurückgelegt, in t2 also das dreifache, nämlich 900m. und das wiederum ist x+50, also ist x=850m.
Hallo.
Diesmal hoffentlich ohne es unnötig kompliziert zu berechnen:
Wir kennen die Position der beiden Schiffe zu den Zeitpunkten, wo sie sich treffen. Für jeden Zeitpunkt gilt allgemein t = s/v.
Für das 1. Treffen gilt also (s ist hier die Gesamtstrecke, v1 und v2 die beiden Geschwindigkeiten):
(s-300)/v1 = 300/v2
Für das 2. Treffen:
(s-300)/v1 + 300/v1 + 10min + (s-50)/v1 = 300/v2 + (s-300)/v2 + 10min + 50/v2
Umformen von 2.:
(2s-50)/v1 + 10min = (s+50)/v2 + 10min
v2(2s-50) - v1(s+50) = 0
Umformen von 1.:
v1 = v2 (s-300) / 300
Einsetzen:
v2(2s-50) - v2 (s+50)(s-300)/300 = 0
600s-300*50 - s^2+250s+300*50 = 0
-s^2+850s = 0
s(s-850) = 0
s = 0 oder s=850
s=0 ist offensichtlich eine unsinnige Lösung (der Fluss wäre 0 Meter breit, existiert also gar nicht), ist 850 Meter die richtige Lösung.
Sebastian.
Diesmal hoffentlich ohne es unnötig kompliziert zu berechnen:
Menno, jetzt seh ich die andere Lösung und die Antwort darauf und stelle fest: Ich kann es einfach nicht einfach machen.
Sebastian.
Bingo :o)
Hi gyuri,
Du hast imho den Reiz des Rätselratens verstanden. Der scheint sich ja manchen nicht so recht zu erschließen ;o)
Gruß
Tefan
Kopf hoch. Allein die Erkenntnis, dass es mehrere Wege nach Rom gibt und es befriedigend ist, den einfachsten zu finden, zeichnet Dich schon aus :o)
Gruß
Tefan
Spoiler: Dreisatz!
Bei der ersten Begegnung haben die beiden Schiffe gemeinsam 1x das Gewässer durchquert. Das langsamere hat dabei 300m zurückgelegt.
Bei der zweiten Begegnung haben sie 3x das Gewässer durchquert. Das langsamere hat demnach 3x300m=900m zurückgelegt. Abzüglich der 50m, die es vom Ufer schon wieder entfernt ist ergibt sich eine Gewässerbreite von 850m.
Gruß
Tefan