Meinung zu einem Beweis (Median)

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe mir selbst folgende Aufgabe gestellt:

Sei Ma der Median der Werte aus Beobachtung A.
Sei Mb der Median der Werte aus Beobachtung B.
Beobachtung C enthält alle Werte aus Beobachtung A und B und sonst keine.
Sei Mc der Median der Beobachtung C.
Zeigen Sie, dass Mc nicht kleiner sein kann als Ma UND Mb.

Im Folgenden kommt mein Beweis. Mich würde eure Meinung interessieren ob ihr den Beweis für richtig haltet oder welche Fehler ihr darin seht. Falls ihr eine elegantere Lösung habt würde mich das auch interessieren. Ich habe das Gefühl ich mache die Sache komplizierter als sie ist.

Beweis:
Sei Ma kleinergleich Mb. Diese Annahme verletzt die Allgemeingültigkeit des Beweises nicht, da sie für zwei beliebige Beobachtungen A und B immer erfüllbar ist.

Sortiert man die Werte von A aufsteigend kann man sie wie folgt in 2 Bereiche einteilen.
Ein Teil enhält alle Werte links von Ma (Tal) und ein Teil enthält alle Werte rechts von Ma (Tar).
Diese Einteilung ist analog auch für B möglich und führt zu den Teilbeobachtungen Tbl (links von Mb) und Tbr (rechts von Mb).

Für alle Werte in Tal gilt daher, dass sie kleinergleich Ma sind und für alle Werte in Tbl gilt dass sie kleinergleich Mb sind.

Da Ma kleinergleich Mb ist, gilt somit auch, dass alle Werte in Tal kleinergleich Mb sind.

Gemäß der Definition des Median enhalten Tal und Tar jeweils gleich viele Werte.

Dies gilt auch für Tbl und Tbr.

Tal und Tbl stellen somit die Hälfte der Werte von C da. Wie oben gezeigt, sind alle Werte von Tal und Tbl kleinergleich Mb. Mc muss gemäß der Definition des Median größergleich Mb sein um rechts von den aufsteigend sortierten Werten von C zu stehen welche sich aus den Werten von Tal und Tbl bilden. Somit kann Mc nicht kleiner sein als Ma UND Mb.

Vielen Dank im Voraus für Antworten.

Max

#2

Hallo,

Zeigen Sie, dass Mc nicht kleiner sein kann als Ma UND Mb.

Diese umgangssprachliche Aussage finde ich etwas mehrdeutig. Meinst du damit folgendes?
\lnot(M_C
Das wäre äquivalent zu
M_C \ge M_A \lor M_C \ge M_B
Klingt auf den ersten Blick plausibel

Für alle Werte in Tal gilt daher, dass sie kleinergleich Ma sind

Hier musst du dich entscheiden, was passiert, wenn die Menge eine ungerade Anzahl Elemente hat. Wenn der Median mit in eine der Teilmengen soll, ist das kleinergleich richtig, aber Tal hat ein Element mehr als Tar. Soll der Median rausfallen, wäre „kleiner“ eine stärkere Bedingung und die Mengen sind gleich groß. Allerdings würde das die Berechnung des Median für C verfälschen.

Mc muss gemäß der Definition des Median größergleich Mb sein um rechts von den aufsteigend sortierten Werten von C zu stehen welche sich aus den Werten von Tal und Tbl bilden.

Das ist nicht richtig. Angenommen a = {1, 2, 3, 4}, b = {5, 6, 7, 8}. Dann ist Tal = {1, 2} und Tbl = {5, 6}. Die sortierte Vereinigung C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und damit Tcl = {1, 2, 3, 4}, also nicht die Vereinigung von Tal und Tbl.

Somit kann Mc nicht kleiner sein als Ma UND Mb

Hier ist wieder die umgangssprachliche Bezeichnung problematisch. Du hast jedenfalls nicht die anfangs formal beschriebene Behauptung gezeigt. Du hast folgendes gezeigt:
M_C \ge M_A \land M_C \ge M_B
Wie bereits schon erwähnt ist das aber in die Hose gegangen. Diese Behauptung ist nämlich falsch.

Nico

#3

Hi Nico,

zunächst vielen Dank für deine Antwort.

Meinst du damit folgendes?
\lnot(M_C

ja

Das wäre äquivalent zu
M_C \ge M_A \lor M_C \ge M_B

Sehe ich auch so.

Für alle Werte in Tal gilt daher, dass sie kleinergleich Ma sind

Hier musst du dich entscheiden, was passiert, wenn die Menge
eine ungerade Anzahl Elemente hat.

Ich glaube nicht dass man eine Beobachtung allgemein als Menge bezeichnen kann.
Nehmen wir an eine Beobachtung hat die folgenden zwei Werte (1,1). Diese sind nicht unterscheidbar und daher hätte die Beobachtung dann zwei Werte aber nur ein Element. Die Beobachtung als Menge ausgedrückt wäre dann (1), und das wäre ungleich der Beobachtung. Oder?

Wenn der Median mit in eine
der Teilmengen soll, ist das kleinergleich richtig, aber Tal
hat ein Element mehr als Tar.

Tal hat immer genausoviele Elemente wie Tar, unabhängig davon ob A eine ungerade Anzahl an Werten hat oder nicht.
Beispiel ungerade Anzahl:
A = (1,2,3)
Median ist 2,
Tal =(1)
Tar (3)

Beispiel gerade Anzahl:
A = (1,2,3,4)
Median ist (2+3/2)= 2,5
Tal (1,2)
Tar (3,4)

Mc muss gemäß der Definition des Median größergleich Mb sein um rechts von den aufsteigend sortierten Werten von C zu stehen welche sich aus den Werten von Tal und Tbl bilden.

Das ist nicht richtig. Angenommen a = {1, 2, 3, 4}, b = {5, 6,
7, 8}. Dann ist Tal = {1, 2} und Tbl = {5, 6}. Die sortierte
Vereinigung C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und damit Tcl = {1,
2, 3, 4}, also nicht die Vereinigung von Tal und Tbl.

Stimmt, hier habe ich einen Fehler gemacht. Ich muss den Beweis nochmal überdenken.

Viele Grüße

Max

#4

Ich glaube nicht dass man eine Beobachtung allgemein als Menge
bezeichnen kann.

Stimmt, da habe ich nicht aufgepasst. Also eher ein Tupel bzw. Multimenge

A = (1,2,3)
Median ist 2,
Tal =(1)
Tar (3)

Ist ok, aber pass dann im weiteren Beweis auf, dass ja ein Element der Gesamtsequenz fehlt.

#5

Hallo,

ich habe mir selbst folgende Aufgabe gestellt:

Sei Ma der Median der Werte aus Beobachtung A.
Sei Mb der Median der Werte aus Beobachtung B.
Beobachtung C enthält alle Werte aus Beobachtung A und B und
sonst keine.
Sei Mc der Median der Beobachtung C.
Zeigen Sie, dass Mc nicht kleiner sein kann als Ma UND Mb.

Hallo Max,

ich muss zugeben, das ist eine interessante Aufgabe. Wie wäre es mit folgender Beweisidee?

Man fügt zunächst alle Werte aus A zu C hinzu. Der Median von C ist dann Ma.
Nun fügt man alle Werte aus B hinzu die Ma entsprechen (falls es solche gibt). Der Median von C ist immer noch Ma.
Jetzt teilt man den Rest von B in zwei Teile, einen mit Werten kleiner als Ma und einen mit Werten größer als Ma.
Solange man von jedem Teil jeweils einen Wert zu C hinzufügt (sozusagen pärchenweise) verändert sich der Median von C dadurch nicht.
Wenn die beiden Teile von B unterschiedlich viele Werte enthalten, wird irgendwann ein Teil keine Werte mehr enthalten, während der andere noch Werte enthält.
Erst wenn man diese restlichen Werte noch zu C hinzufügt, wird sich der Median von C verändern.
Angenommen der Teil von B mit Werten größer als Ma enthält mehr Werte als der Teil mit Werten kleiner Ma. Dann wird sich der Median von C am Ende vergrößern.
Die entscheidende Frage ist nur: Enthält B mehr Werte die kleiner als Ma sind oder mehr Werte die größer als Ma sind (oder natürlich gleich viele)?
Im ersten Fall ist McMa. Bei gleich vielen Werten gilt Mc=Ma.
Jetzt kommt der Witz an der Sache. Wenn B mehr Werte enthält die kleiner als Ma sind, dann folgt daraus, dass A mehr Werte enthält die größer als Mb sind. Dann kann man aber genau umgekehrt verfahren und C zuerst mit den Werten von B befüllen um dann analog zu vorher die Werte von A hinzuzufügen. Es wird dann also Mc>Mb gelten.
So erhält man die Aussage

Mc\geq Ma\vee Mc\geq Mb,

also

Mc\geq\min (Ma,Mb).

Analog erhält man die Aussage

Mc\leq\max (Ma,Mb).

Zusammen ergibt das

\min (Ma,Mb)\leq Mc\leq\max (Ma,Mb).

Gruß

hendrik

#6

Hi Hendrik,

vielen Dank für deine Antwort. Es klingt sehr überzeugend, aber folgenden Schlussfolgerung habe ich noch nicht verstanden.

Jetzt kommt der Witz an der Sache. Wenn B mehr Werte enthält
die kleiner als Ma sind, dann folgt daraus, dass A mehr Werte
enthält die größer als Mb sind.

Andere Frage:
Was hälst du von meinem Beweis für folgenden Spezialfall:
A hat eine gerade Anzahl von Werten.
B hat eine ungerade Anzahl von Werten.
Nehmen wir an Ma