Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe:
Seien M,N und L Mengen. Zeigen Sie: M \ (N n L) = ( M \ N) u (M \ L).
Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich Anfangen bzw. Vorgehen soll,
Aufgaben mit den Logischen Aussagen kriege ich ohne Probleme hin und die Gesetze dazu habe ich mir auch schon angeschaut.
Nur muss ich noch jede Menge von der oben genannten Aufgabe machen, aber habe noch nie eine Musterlösung gesehen.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen, danke im Voraus!
Moin,
Seien M,N und L Mengen. Zeigen Sie: M \ (N n L) = ( M \ N) u
(M \ L).Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich Anfangen bzw. Vorgehen
soll,
wenn man bei sowas sonst keine Idee hat, dann muss man das „handwerklich“ loesen. Ich nenne Mal die linke Seite A und die rechte Seite B und dann ist zu zeigen:
fuer alle Elemente x aus A gilt: x ist auch Element B;
fuer alle Elemente x aus B gilt: x ist auch Element A
Versuch das einfach Mal und wenn Probleme auftreten, nochmal fragen… Schadet dabei nicht, die Axiome der Mengenlehre im Kopf zu haben.
Gruss
Paul
Vorraussetzung ist offenbar, dass L und N teilmengen von M sind -?
Dann kann amn sich die Sache einfach mal aufmalen, alles wird sofort klar …
Nimmt man von M statt der Schnittmenge von N und L das ganze N heraus, so muss man den Teil von N wieder hinzufügen, der sich nicht mit L überschneidet. Genau das passiert, wenn man (M \ L) dazugibt - dass man dabei die Elemente von M, die nicht in (L u N) liegen, „nochmal“ bekommt, spielt keine Rolle (allgemeine gilt ja M u M = M).
Hallo,
wenn du in der Aussagenlogik fit bist, kannst du diesen Mengenbeweis auch dahin ummünzen:
Die Aufgabe wäre dann, zu beweisen, dass
{x | x \in M} \setminus ({x | x \in N} \cap {x | x \in L})
= ({x | x \in N} \setminus {x | x \in N}) \cup ({x | x \in N} \setminus {x | x \in L})
Du musst dann nur die Mengenoperatoren in die entsprechenden Logikoperatoren umformen. Also aus einer Vereinigung wird einer Oder-Verknüpfung der Bedingungen. Aus dem Minus wird erst eine Schnittoperation mit dem Komplement und dann eine UND-Verknüpfung der Bedingungen usw.
Ich komme dann zum Schluss auf:
{x | x \in M \land (x \in \overline{N} \lor x \in \overline{L})} = {x | x \in M \land (x \in \overline{N} \lor x \in \overline{L})}
Nico
Hallo, vielen Dank schonmal die Antworten haben mir aufjedenfall schonmal auf die Sprünge geholfen!!
Gruß
Hallo,
nur der Vollständigkeit halber um Konfusionen zu vermeiden.
Vorraussetzung ist offenbar, dass L und N teilmengen von M sind -?
Natürlich ist das nicht der Fall. Es wurde ja eindeutig definiert, dass N und L beliebige Mengen sein können. Die Mengen könnten zu M sogar disjunkt sein. Die zu beweisende Behauptung müsste dann trotzdem gelten. In diesem Fall wäre der Beweis sogar trivial.
Dann kann amn sich die Sache einfach mal aufmalen, alles wird sofort klar
Eine Skizze (z.B. ein Venn-Diagramm) ist natürlich noch lange kein Beweis. Sie kann allerdings dabei helfen, die Behauptung zu verstehen und auf die kritischen Punkte zu kommen.
Nico