Mir liegen Messwerte vor u=f(t) in konstanten Zeitabständen. Um diesen Kurvenzug in eine Gleichung zu packen und math. weiter zu behandeln suche ich nicht nach einer Näherung (z.B: Newton…) sondern nach der DGL die diesen Vorgang beschreibt. Es ist dabei wahrscheinlich das ich die korrekte DGL für den Ansatz nicht kenne. Wer kennt ein Verfahren welches mir aus einem solchen Kurvenzug die DGL liefert die diesen Kurvenverlauf im gemessenen Bereich quasi exakt beschreibt?
Gruß von N.Irmer
hi,
Mir liegen Messwerte vor u=f(t) in konstanten Zeitabständen.
Um diesen Kurvenzug in eine Gleichung zu packen und math.
weiter zu behandeln suche ich nicht nach einer Näherung (z.B:
Newton…) sondern nach der DGL die diesen Vorgang
beschreibt.
ich sehe da einen grundsätzlichen widerspruch. eine DGL ist eine im prinzip _deterministisch_e sache; messwerte unterliegen im prinzip _zufall_sbestimmten messungenauigkeiten.
Es ist dabei wahrscheinlich das ich die korrekte
DGL für den Ansatz nicht kenne.
m.e. setzt jede gleichung einen theoretisch fundierten ansatz voraus, der dann an den daten überprüft werden kann.
aber du brauchst grundannahmen zum funktionalen zusammenhang. (z.b.: i.w. linear; i.w. exponenziell; …)
Wer kennt ein Verfahren
welches mir aus einem solchen Kurvenzug die DGL liefert die
diesen Kurvenverlauf im gemessenen Bereich quasi exakt
beschreibt?
also ich muss da passen. bin gespannt, was noch kommt.
du könntest evtl. einige konkrete messpunkte beitragen.
m.
Um diesen Kurvenzug in eine Gleichung zu packen und math.
weiter zu behandeln suche ich nicht nach einer Näherung (z.B:
Newton…) sondern nach der DGL die diesen Vorgang
beschreibt.
Nach dem Motto „Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?“ Warum sollte es besser sein, die Daten nicht an irgend eine Funktion, sondern an das Integral irgend einer Funktion zu fitten? Das würde nur Sinn machen, wenn Du weißt, wie die DGL aussieht.
Hallo,
zu dem schon gesgaten ergänzen möchte ich, dass du die Frage der Eindeutigkeit nicht stellst, sie aber stellen solltest. Ob eine DGL eine eindeutige Lösung hat, ist im Allgemeinen nicht zu bejahen, ist aber nicht trivial; aber dass man zu einer Funktion (fast beliebig) viele DGLs finden kann, ist anschaulich klar. Nimm die Parabel y = x^2.
Folgende DGLs haben alle die Parabel als Lösung:
y’ = 2x
y’’ = 2
y’ / x = y’’ (x \neq 0)
2 y / x = y’
y / x^2 = 1/2 y’’
…
Ich sage aber in keinem Fall, dass diese Parabel die Lösung ist (ist sie auch wohl in keinem).
Es wäre also nett, wenigstens zu wissen, welche Ordnung deine DGL haben soll und ob sie evtl. linear ist. Sinnvoller wäre es aber glaube ich trotzdem, die Funktion zu fitten, diese abzuleiten und eine DGL zu basteln, so wie ich es oben für die Parabel getan habe.
w.bars
Da Du Messerte hast, ist dies ein Problem der Physik, nicht der Mathematik.
Da Du nur Stützwerte hast, aber eine kontinuierliche DGL suchst, gibt es unendlich davon. Wenn Du auch noch berücksichtigst, dass deine Messwerte Messfehler haben, dann gibts erst recht unendlich.
Wenn Du endlich viele Messwerte hast, dann ist mathematisch ein Fitverfahren das Beste, in der Regel ein polynomialer Fit mit Minimierung der Abweichungen, das wäre mathematisch schon das Einfachste. Wenn Du weitere Informationen hast, kannst Du auch eine andere Funktion zum Fit ansetzen (e-Funktion * Polynom z.B.)
Aber so eine Fit Gleichung sagt in der Regel wenig. Eigentlich musst Du mit physikalischem Denken daran gehen, also welche Größen (ausser der Zeit) gehen in das Problem ein? Welche linearen Abhängigkeiten gibt es wohl? Wo wirken Kräfte usw.
Mit so einem Ansatz (und der Annahme, dass du ein klassisches Problem vor dir hast), wirst Du bei Newton landen und eine DGL zweiter Ordnung in t in n Variablen konstruieren.
Gruß
Thomas
Hallo ThomasM,
ich sehe darin schon eine math. Problemstellung. In meinem Fall sind es Messwerte, aber es ist denkbar das diese Stützwerte aus einer DGL stammen und ich möchte diese DGL über ein Verfahren finden.
Das mit den Fit´s habe ich schon hinter mir und komme auch auf Ergebnisse die natürlich nicht jede beliebige Genauigkeit befriedigt. Ich möchte die Ungenauigkeit der Näherungsverfahren umgehen und die DGL finden die den „Messwerten“ oder besser dann Stützwerten zu Grunde liegen. Ich kann mir nicht vorstellen das ich der Erste bin der aus den gegeben Lösungswerten einer DGL die DGL bestimmen möchte. Sieht mir eher wie ein klassisches Problem aus, aber ich habe dazu nichts finden können was mich weiterbringt. Gruß von NIrmer
Hallo w bars,
das es eine vielzahl von DGL´s geben mag die die Lösung erfüllen kann ich mir schon vorstellen. Welcher Ordnung die DGL der Lösung hat ist mir bekannt. Nur das System gehorcht diesem nicht immer 
Durch Fertigungstoleranzen u.ä. kann sich das mechanische schwingungsfähige System was ich betrachte so verändern das noch Terme bzw. unbekannte Abhängigkeiten hinzukommen die ich so nicht abschätzen kann. Ich sehe es daran das die Rekonstruktion des Kurvenzuges Abweichungen aufzeigt, die meine Genauigkeitsbetrachtung nicht befriedigt.
Es ist also möglich das im Regelfall, die Messwerte auch der DGL gehorchen, andererseits kann es zu Abweichungen kommen. Deshalb brauche ich ein Verfahren welches die Basis-DGL z.B. erweitert um Terme die ich nicht kenne, und so die Genauigkeit erhöht. Wie man da sinnvoll herangeht weiss ich eben nicht…
Gruß von NIrmer
Hallo DrStupid,
das mit dem „fitten“ bringt mir Ungenauigkeiten die ich umgehen möchte.
Die DGL kenne ich nur zum Teil. Gedanklich gehe ich von einer „black box“ aus wo ich nur Ansatzweise weiss welchen Gesetzen diese gehorcht.
Die Idee ist, eine Funktion zu finden mit denen ich die diskret abgetasteten Messwerte, auch für die nicht abgetasteten Positionen, bestimmen kann ohne diese zu fitten bzw. auch Messwerte zu beschreiben die vor dem Beginn der Messung vorhanden waren (extrapolieren). Im Endeffekt möchte ich die Genauigkeit der Signalrekonstruktion wesentlich verbessern, indem ich für den Betrachtungsbereich eine DGL finde die mir die gegebenen Stützpunkte als Lösung so exakt wie möglich beschreibt.
Gruß von NIrmer
Es ist also möglich das im Regelfall, die Messwerte auch der
DGL gehorchen, andererseits kann es zu Abweichungen kommen.
Deshalb brauche ich ein Verfahren welches die Basis-DGL z.B.
erweitert um Terme die ich nicht kenne, und so die Genauigkeit
erhöht.
Das läuft auf einen x-beliebigen Fit hinaus. Ein einfaches oder trigonometrisches Polynom, dessen Ordnung Du so lange erhöhst, bis es für Deinen Geschmack gut genug zu den Daten passt, leistet dasselbe. Wenn der Weg über die DGL einen Sinn ergeben soll, dann musst Du sie auf Grundlage eines realistischen Modells entwickeln und da funktioniert es dann auch genau so, wie Du es oben schilderst:
Man fängt mit einem möglichst einfachen Modell an und wenn man die Daten damit erfolgreich fitten kann, dann bleibt man dabei, weil die Daten ohnehin nicht genug Informationen für ein komplexeres Modell enthalten. Misslingt der Fit, dann erweitert man das Modell um den wichtigsten der zunächst vernachlässigten Einflussfaktoren und probiert es nochmal. Das kann man bei Bedarf solange treiben, bis die Residuen normalverteilt sind.
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Hallo michael,
die Messungenauigkeiten lasse ich erst mal unbetrachtet. Diese sind in jedem Fall systembedingt und wenn ich diese Ungenauigkeit allein hätte, dann wäre ich schon zufrieden. Die „Fit´s“ machen mir eine zusätzliche Ungenauigkeit die ich umgehen möchte und daher nach einen Ansatz über die DGL´s suche.
Den Basisansatz der DGL kenne ich, aber nicht alle der gemessenen Systeme gehorchen diesem außreichend genau. Die kleinen Abweichungen bei der Fertigung verändern auch meine Basis-DGL, mit mir nur schätzbaren Erweiterungen. Daher suche ich nach einem Verfahren welches mir eine exakte DGL aus den Stützpunkten der Lösung liefert.
Zur besseren Vorstellung, ich messe eine sinusförmige Schwingung die in der Amplitude und der Frequenz abklingt. Diesen Kurvenverlauf möchte ich analysieren. Die Genauigkeiten der Rekonstruktion von Messwerten mit Hilfe von Fit-Systemen stellen mich da nicht zufrieden, da das Ergebnis u.a direkt von der Genauigkeit des Fit´s abhängt.
Gruß von NIrmer
das mit dem „fitten“ bringt mir Ungenauigkeiten die ich
umgehen möchte.
Kannst Du die „Ungenauigkeiten“ bitte konkretisieren?
Im Endeffekt möchte
ich die Genauigkeit der Signalrekonstruktion wesentlich
verbessern, indem ich für den Betrachtungsbereich eine DGL
finde die mir die gegebenen Stützpunkte als Lösung so exakt
wie möglich beschreibt.
Wie kommst Du auf die Idee, dass das genauer wird als wenn Du eine Funktion findest, die Dir die gegebenen Stützpunkte so exakt wie möglich beschreibt? Die Lösungen der DGL sind auch nur Funktionen. Es spielt überhaupt keine Rolle, ob Du eine Funktion direkt an die Daten fittest oder den Umweg über eine entsprechende DGL wählst - außer dass letzteres komplizierter ist.
Hallo DrStupid,
ich befürchte schon, das der DGL-Ansatz in meinem Fall ohne Erfolg bleibt. Ich kann es nachvollziehen das der Ansatz mit den Modellerweiterungen nichts anderes ist als „fitten“.
Das mit den normalverteilten Residuen ist ein Hinweis der mir da event. helfen kann die Genauigkeit zu verbessern.
Erschwerend kommt in meinem Fall noch hinzu, das durch mehrfaches Probieren der Ansätze die Rechenzeit steigt. Dieses darf ich nicht außer Acht lassen und verfüge in Bezug auf Rechenpower nicht über beliebige Leistungen.
Da bedanke ich mich für das Erste für die Hinweise…
Gruß von NIrmer
Wie kommst Du auf die Idee, dass das genauer wird als wenn Du eine Funktion findest, die Dir die gegebenen Stützpunkte so exakt wie möglich beschreibt?
Ich habe die Messwerte simuliert, dafür eine DGL aufgestellt und daraus die Messwerte für den Kurvenzug berechnet. Diesen Kurvenzug habe ich analysiert und das rekonstruierte Signal mit den simulierten Daten verglichen. Es zeigte sich, je nach verwendetem Fit-Verfahren, gab es signifikante Abweichungen. Habe ich die Lösung der DGL zur Rekonstruktion der benötigten Messwerte genommen, dann passte das zusammen wie aus einem Guß! (ist eigentlich Logisch)
Daraus folgere ich, wenn ich die exakte DGL der Messwerte kenne kann ich auch jeden Messwert rekonstruieren, ohne die Genauigkeit duch fitten zu verlieren.
Es zeigt sich anscheinend das, nach unserer Diskussion, ich die „exakte“ DGL eben auch nur „fitten“ kann und somit dieses Verfahren dann nur komplieziert aber nicht effektiver bzw. genauer ist als ein geeignetes Fitverfahren!
Gruß von NIrmer
Hallo N.Irmer.
Misslingende Fits liegen in vielen Fällen daran, dass über das System nicht genug bekannt ist. Hier ein kleines Beispiel:
Jemand untersucht eine Abhängigkeit, die bis auf kleine Abweichungen eine Parabel ist. Dann ist in Deinen Bezeichnungen vielleicht u(t) = a*t^2. Wenn man nun diesen Zusammenhang kennt, aber den konkreten Wert für a nicht hat, so kann man diesen aus den Messwerten so genau bestimmen, wie die Messwerte es eben erlauben. Aber die gefittete Kurve wird die meisten Messwerte knapp verfehlen, weil das System eben nicht exakt dem Modell entspricht.
Hat man aber keine Ahnung vom zugrundeliegenden Zusammenhang, so könnte man etwa durch zehn Messwerte ein Polynom neunten Grades legen. Das Polynom wird alle zehn Messwerte exakt treffen, dazwischen aber einen Haufen unerwarteter lokaler Extremstellen ausbilden. Der Anwender ist mit dem Fit dann nicht zufrieden.
So ähnlich könnte es Dir auch ergangen sein. Deswegen schlage ich vor, dass Du das physikalische Verhalten Deines Systems genauer untersuchst. Du schreibst von einer abklingenden Sinusfunktion. Also läuft es ja auf einen Ansatz ähnlich zu
f(t) = A*exp(-B*t)*sin(g(t)+C) hinaus. Da Deine Frequenz sich auch verändert, wird g(t) vielleicht der Art g(t) = D/t oder g(t) = D*t/(E+t^2) oder g(t) = D*exp(-E*t) oder so ähnlich sein.
Da derartige Ansätze bislang noch nicht genau genug waren, musst Du wohl herausfinden, warum Dein System davon abweicht. Vielleicht bilden sich Oberschwingungen aus? Oder konkurrieren verschiedene Dämpfungsfaktoren? Oder haben die Teile unterschiedliche Schwingungsmoden? Wenn Du Glück hast, ist ein solcher Effekt dominierend für die Abweichungen verantwortlich. Wenn Du Pech hast, sind es mehrere etwa gleich große Effekte. Dann hast Du mehr Arbeit.
In jedem Fall benötigst Du aber viele, viele Datenpunkte, um Dein System so genau zu untersuchen!
Viel Erfolg wünscht
The Nameless
Hallo Namenlos,
ja, danke für die deine Zusammenfassung und das Problem ist voll erkannt.
Der Fit ist das Problem und die Anzahl der Messpunkte ist endlich. Die ersten Perioden haben wg. der konst. Abtastung auch weniger Messwerte als die letzteren aufgezeichneten Perioden. Das bedeutet ich kann die abgeklungenen Perioden mit mehr Stützwerten analysieren und die ersten gemessenen Perioden nur mit wenigen Stützwerten. (Das Abtasttheorem wird natürlich eingehalten!) Aber es zeigt das ein Fit gerade in dem interessanten Bereich nur wenige Stützstellen hat. Deshalb auch der Gedankenansatz von dem physikalischem System die DGL aus den Messwerten zu bestimmen und damit die Kurve an den nicht abgetasteten Punkten zu rekonstruieren. Die nachfolgenden Analysen erfordern eine gleichmäßige Abtastung der einzelnen Perioden.
Wenn ich die DGL´s raten, erahnen, oder irgendwie schätzen muß dann bringt mich das nicht weiter und wie schon von „DrStupid“ erwähnt ist es letztendlich auch nur ein Fit.
Oberflächlich betrachtet könnte man das mit einer DGL beschreiben oder dieses Problem mit einem geeigneten Fit begegnen. Nur die Ansprüche an die Genauigkeit der Kurvendaten und den rekonstruierten Messpunkten ist hoch, so das eben diese Fit-Abweichungen sichtbar werden. Vielleicht muß ich versuchen den Fit durch rekursive Verfahren besser anzupassen und mich mit dem zufrieden geben was dann als möglich herauskommt. Ich dachte das es eben ein Verfahren geben könnte wie man elegant, ohne die klassischen Fit´s zu benutzen und mit wenig bzw. optimierten Rechenpower das Problem lösen kann. Scheint aber nicht so zu sein. Danke für deine Antwort.
Gruß von NIrmer