Mitte in der Unendlichkeit

[Massimo09]

@Metapher

limn→∞ 1/n​ ∑ (k= 1→n) 1/k​ = 0

Kann mir jemand diese Rechnung diese Rechnung erklären bin erst in der 9. Klasse
L.G

[Metapher]

@Massimo09

Kann mir jemand diese Rechnung erklären

Das hat etwas mit einer unendlichen Folge von Zahlen zu tun: 1/2, 1/3, 1/4 … 1/n …, die ja immer kleiner werden, wenn n immer größer wird, und daher (wie man in der Mathematik sagt) „gegen 0 streben“. Das heißt, 0 ist der sogenannte „Grenzwert“ dieser Folge von Zahlen. Das hat aber nichts mit deiner ursprünglichen Frage zu tun. Es ist ein anderer Begriff von „Unendlichkeit“ als der, den du meintest.

War denn das, was ich dir → hier zu deiner eigenen ursprünglichen Frage schrieb, für dich verständlich?

[Metapher]

Hallo @Der_Namenlose,

@Der_Namenlose

Mein Befremden kommt tatsächlich aber aus der Anschauung, nicht aus der Rechnung.

Das ist interessant: Demnach wäre diese deine Anschauung noch unberührt von der Erfindung der Differentialrechnung bzw. dem Grenzwert-Begriff. Und sie, die Anschauung, würde sich dann auch von den Paradoxien des Zenon beeindrucken lassen. Insbesondere von dem sog. Teilungspardoxon … Das lebt ja davon, daß es sich tatsächlich der Anschauung entzieht, daß eine unendliche Summierung einen endlichen Wert haben kann.

Es liegt vielleicht auch daran, daß in einem Ausdruck
lim_n→∞ f(n) = 0
das Gleicheitszeichen kontraintuitiv ist. Der Ausdruck bedeutet ja „strebt gegen 0“. D.h. eigentlich ist es nur „potentiell unendlich“. Die Differentialrechnung macht aber mit „gleich 0“, also dem Grenzwertbegriff, daraus eine „aktuale Unendlichkeit“, die sich aber der Anschauung entzieht, wie schon Aristoteles behauptete … → hier.

In der mathematischen Ausdruclksweise kommt das ja trickreich zur Geltung, z.B. „Die Glieder der Folge {1/n} sind für jedes ε > 0 alle bis auf endlich viele < ε“

In deinem netten Bild mit der Zahlen-Stange drängen sich ja die Tennisbälle zwar (bei der Folge der Reziproken) immer enger an die Null. Die Stange kippt aber immer zur positiven Zahlen-Seite, weil endlich viele Bälle eben jenseits der Null hängen. Die Anschauung übersieht dabei aber, daß egal wieviele 10^{irgendwiewviel} dort hängen, immer noch unendlich viele noch näher bei der Null hängen. Und der Grenzwertbegriff macht dann daraus, daß unendlich viele auf der Null höngen. Die paar beliebig vielen „endlich vielen“ können dagagen nicht anzappeln.

Daher ja auch die Rechenregel: ∞ - a = ∞ für jedes(!) a.

Schönen Gruß
Metapher

[Metapher]

addendum

@Metapher

„Die Glieder der Folge {1/n} sind für jedes ε > 0 alle bis auf endlich viele < ε“

oder hier besser:
„Die Glieder der Folge {1/n} liegen für jedes ε > 0 alle bis auf endlich viele innerhalb des Intervalls [0, ε]“ Also einschließlich(!) Null.

[Der_Namenlose]

Hallo @Metapher.

@Metapher

In deinem netten Bild mit der Zahlen-Stange drängen sich ja die Tennisbälle zwar (bei der Folge der Reziproken) immer enger an die Null. Die Stange kippt aber immer zur positiven Zahlen-Seite, weil endlich viele Bälle eben jenseits der Null hängen. Die Anschauung übersieht dabei aber, daß egal wieviele 10irgendwiewviel dort hängen, immer noch unendlich viele noch näher bei der Null hängen. Und der Grenzwertbegriff macht dann daraus, daß unendlich viele auf der Null höngen. Die paar beliebig vielen „endlich vielen“ können dagagen nicht anzappeln.

Deine Argumentation überzeugt mich hier nicht recht. Denn meines Erachtens hängen nicht endlich viele Bälle jenseits der Null. Sondern, so wie ich die Situation verstehe, hängen alle unendlich vielen Bälle jenseits der Null im positiven Bereich. Es gibt keinen Ball, der genau auf der Null hängt. Deswegen argumentiert man vielleicht besser folgendermaßen:

• Hängt man die Stange bei einer negativen Zahl auf, so hängen alle Bälle auf der positiven Seite der Aufhängung und die Stangs kippt in diese Richtung.
• Hängt man die Stange bei einer beliebigen positiven Zahl auf, so hängen höchstens endlich viele Bälle auf der positiven Seite der Aufhängung und unendlich viele Bälle auf der negativen Seite der Aufhängung. Diese unendlich vielen Bälle auf der negativen Seite überwiegen natürlich, obwohl sie eventuell sehr nahe an der Aufhängung gelegen sind. Darum kippt die Stange zur negativen Seite hin.
• Wenn die Stange bei Aufhängung in jeder positiven Zahl ins Negative kippt und bei Aufhängung in jeder negativen Zahl ins Positive kippt, dann muss dazwischen der Gleichgewichtspunkt liegen. Und die einzige Zahl zwischen positiv und negativ ist die Null.

Trotzdem bleibt es aber bei der Absonderlichkeit, dass alle Bälle auf der gleichen Seite der Aufhängung liegen. Kein Ball hängt im Negativen und kein Ball hängt genau an der Null. Jeder Ball hängt bei einer positiven Zahl.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

[Metapher]

@Der_Namenlose

dass alle Bälle auf der gleichen Seite der Aufhängung liegen.

Genau deine Argumentation mit den Bällen ist das Mittel, mit dem Zenon seine Zuhörer zu verblüffen verstand Solange halt, bis die Differentialrechnung erfunden wurde.

Demnach hast du Recht: Archilles kann die Schildkröte nicht einholen!

Gruß