Hallo meine Lieben,
ich habe eine Frage zum Thema der Unendlichkeit, öfter mal zerbreche ich mir wegen der Frage abends im Bett mein Kopf 
. Die Frage lautet, ob die Unendlichkeit eine Mitte hat oder nicht, da am Ende alles die Mitte ist aber es ja nur eine Mitte geben kann und ist dies dann ein Paradoxon?
Liebe Grüße, Massimo
Anfang und Ende und daraus folgend auch die Mitte sind reine menschliche Definitionen, Hilfskonstruktionen.
Deine Überlegung über die Mitte ist sinnlos, weil der Mensch die Dimensionen von Unendlichkeit nicht erfassen/verstehen kann.
Definiere „Unendlichkeit“ und „Mitte“ und rechne es aus.
Das kann nur Chuck Norris.
Der hat bekanntlich 2 mal bis Unendlich gezählt, vorwärts und rückwärts.
Warum sollte man das definieren wollen? Was hat das mit Physik zu tun?
In der Mathematik gibt es schon für endliche Strukturen, z.B. endliche geordnete Mengen, mehr als einen Mittenbegriff.
Selbst meßbaren Mengen mit endlichem Maß haben nicht unbedingt eine „Mitte“, aber wenn sie eine haben, dann genau eine.
Anderherum gibt es auch unendliche Strukturen mit genau einem Mittelpunkt, ich denke da z.B. an die Koch-Kurve. Die Mitte kann in jedem Schritt der Konstruktion lokalisiert werden und immer genauer bestimmt werden, sie befindet sich ungefähr oben beim Zipfel aus Schritt 1.
Warum denn nicht?
Nein, hat sie nicht, denn die Unendlichkeit endet nicht. Somit hat sie keinen Anfang und kein Ende. Also auch keine Mitte.
Ob das so ist, hängt von den Definitionen von „Unendlichkeit“ und „Mitte“ ab.
Gegenbeisipel: Die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0;1] ist beispielsweise nichtabzählbar unendlich. Trotzdem endet sie links bei 0 und rechts bei 1.
Gegenbeispiel: Die Menge der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich und endet bei steigenden natürlichen Zahlen tatsächlich nicht. Trotzdem hat sie einen Mittelwert - nämlich Null.
Jetzt wirst Du wahrscheinlich einwenden wollen, dass Du Dir unter „Unendlichkeit“ und „Mitte“ etwas anderes vorgestellt hast. Aber genau da liegt das Problem. Solange es nicht definiert ist, reden alle nur aneinander vorbei. Deshalb wiederhole ich es nochmal: Erst definieren und dann ausrechnen.
Die Formulierung der Ursprungsfrage lässt derweil nahelegen, daß der Poster mit den Ausdrücken „Unendlichkeit definieren“ und „Mitte definieren“ und „ausrechnen“ nicht viel anfangen kann.
In dem Fall wird er auch mit den anderen Antworten nicht viel anfangen können.
Hallo,
kannst Du mir erklären, warum 0 und nicht z.B. 7 die Mitte ist?
Gruß,
Paran
Ich hätte jetzt vermutet, dass alles, was mit natürlichen Zahlen (und nicht mit irgendwelchen negativen Operatoren) zu tun hat, zwangsläufig größer Null ist und deswegen der Mittelwert nicht Null sein kann. Die Ansage „1“ könnte ich mir besser herleiten.
Es ist zu vermuten, daß du hier eine räumliche Vorstellung von „unendlich groß“ im Sinn hast? Denn es gibt, wie von anderen bereits angedeutet, viele Arten bzw. Begriffe von Unendlichkeiten (unter anderem ja auch das unendlich Kleine).
Vielleicht angeregt durch die neueren Erkenntnisse der Kosmologie (Auswertungen der WMAP Messungen 2001), daß das Universum - anders als noch im vorigen Jhdt. angenommen - nicht bzw. nur ganz gering „gekrümmt“ ist. Im ersten Fall wäre es tatsächlich unendlich groß, in zweiten Fall ca 78 ·109 Lj (78 Milliarden Lichtjahre) groß.
In beiden Fällen gibt es aber nicht soetwas wie eine „Mitte“. Wenn es unendlich groß ist, ist jede „Stelle“ darin geometrisch gleichwertig.
Weil du schreibst:
hast du vielleicht im Sinn, was man im Zusammenhang mit der Urknalltheorie ziemlich missverständlich oft sagt: Wenn das Universum aus einem winzigen Volumen heraus expandiert ist, dann ist die „Stelle“, wo sich dieses winzige Volumen befand, heute „überall“ zugleich. Das ist aber irreführend, denn wenn es tatsächlich nicht gekrümmt, also unendlich groß sein sollte, dann war es immer unendlich groß, auch zur Zeit des „Urknalls“, also „vor“ der Expansion. (Die daraus folgende Geometrie ist kompliziert, die kann ich hier nicht beschreiben)
Wenn es aber „gekrümmt“ ist, dann ist es zwar nur endlich groß, aber es gibt keinen Mittelpunkt. Analog wie es auf der 2-dimensionalen Kugeloberfläche keinen Mittelpunkt gibt. Denn der Mittelpunkt der Oberfläche ist nicht in der Oberfläche, und die Oberfläche hat ja keinen Rand, sie ist zwar nur endlich groß, aber unbegrenzt… Das ist aber nur eine Vorstellungshilfe, das Universum ist ja räumlich mindestens 3-dimensional.
Ebenso wäre auch das gekrümmte Universum, auch wenn es nur endlich groß sein sollte, unbegrenzt. Es gibt daher auch keinen Mittelpunkt darin.
Von einer Mitte eines Volumens kannst du sprechen, wenn das Volumen Grenzen hat. Nimm eine begrenzte Gerade, also eine „Strecke“. Die Grenze dieser Strecke besteht in den zwei Punkten, die die größtmögliche Distanz voneinander haben. Die Mitte ist dann der Punkt, der von den Grenzpunkten die gleiche Entfernung hat. Eine unendliche Gerade dagegen hat aber keine Grenzpunkte, folglich gibt es auch keinen Mittelpunkt. Denn es gibt keine größtmögliche Distanz zweier Punkte darin.
Etwas anderes ist, wenn man von dem heute beobachtbaren Universum spricht. Das ist ja jedenfallls kleiner als das tatsächliche Universum - unter anderem, weil das von entfernteren Orten ehemals ausgegangene Licht heute noch nicht bei uns angekommen ist und wgegen der Expansion auch niemals bei uns ankommn wird. Dieses beobachtbare Universum ist natürlich ein Kugelvolumen, dessen Mitte wir selbst als die Beobachter sind.
Gruß
Metapher
So macht es total Sinn. Keine Ahnung, was ich gestern Abend las, dachte oder mir vorstellte.
Danke!
Natürlich stimmt die Grenzwertberechnung von @Metapher und @DrStupid, aber ich finde es trotzdem etwas befremdlich, dass jeder einzelne Beitrag größer ist als der Mittelwert. Das entspricht nicht meiner intuitiven Vorstellung davon, was ein Mittelwert sein sollte.
Darum nehme ich das Ergebnis für mich als eine Veranschaulichung der Aussage „in jeder Umgebung der Null sind fast alle Kehrwerte“.
Liebe Grüße in die Runde. 
Vielleicht ist das Befremdliche auch nur ein Missverständnis:
Natürlich ist die Folge {1/n} konvergent:
limn→∞ 1/n = 0
also
„in jeder Umgebung der Null sind fast alle Kehrwerte“.
Aber die harmonische Reihe ist divergent:
limn→∞ ∑(k=1→n) 1/k = ∞
Der Mittelwert der Folge bzw. Menge {1/n} ist für jeweiliges n:
1/n ∑(k=1→n) 1/k
Und die Folge der Mittelwerte ist für n→ ∞ ist wieder konvergent:
limn→∞ 1/n ∑(k=1→n) 1/k = 0
(weil der Nenner schneller mit n wächst als der Zähler)
Gruß
Danke für die Bestätigung, dass Darwin recht hatte!
„Der Mittelpunkt des Universums ist in Dir selbst!“
Also Darwin, der Delfin (Seaquest), nicht der Forscher.
Gruß
Hallo @Metapher,
vielen Dank für die Erklärungen. An der Rechnung habe ich auch gar nichts auszusetzen. Mein Befremden kommt tatsächlich aber aus der Anschauung, nicht aus der Rechnung.
Ich stelle mir die reellen Zahlen als Zahlenstrahl vor, eine Art von sehr dünner (masseloser) Stange, die mit „allen“ reellen Zahlen beschriftet ist. Wenn ich den Mittelwert von endlich vielen Zahlen berechnen soll, stelle ich mir vor, dass ich an die entsprechenden Werte auf dieser Stange einen Tennisball hänge. Und der Mittelwert ist dann der Schwerpunkt dieser Tennisball-Verteilung, also die Zahl, bei der ich die Stange aufhängen muss, damit sie wie ein Mobile im Gleichgewicht hängt. Physikalisch passt das auch, denn „im Gleichgewicht“ heißt ja, dass kein Drehmoment auf die Stange wirkt. Und aus der Bedingung „kein Drehmoment“ folgt direkt, dass (bei gleichen Massen und konstantem Ortsfaktor) die Aufhängung im Mittelpunkt der Ortskoordinaten liegen muss. Dieser Aufhängepunkt liegt natürlich immer an geeigneter Stelle zwischen den einzelnen Tennisbällen, sodass rechts und links die gleichen Hebelkräfte auftreten.
Hier tritt aber die für mich befremdliche Situation auf, dass alle Tennisbälle bei positiven Zahlen hängen, also alle auf der gleichen Seite der Null liegen. Der Aufhängepunkt liegt aber genau bei Null. Es gibt also keinen Tennisball, der genau anf der Achse hängt. Und es gibt auch keinen Tenisball, der auf der anderen Seite der Achse hängt. Ganz viele Bälle hängen ganz nahe an der Achse, das ist mir klar, aber alle liegen auf der gleichen Seite. Das hat mich überrascht.
Aus dem Umgang mit endlich vielen Zahlen bin ich es einfach gewohnt, dass jede Zahl den Mittelwert beeinflusst. Daher kommen Aussagen wie „Fast jeder Mensch hat überdurchschnittlich viele Füße.“ Denn wenn auch nur einem einzigen Mensch ein Fuß fehlt, dann liegt der Mittelwert unter Eins. Natürlich nur sehr wenig, weil der eine Mensch statistisch nur als einer in der gesamten Weltbevölkerung eingeht.
Vielleicht macht das mein Erstaunen klarer. An der Mathematik liegt es wirklich nicht, die Summe der ersten n Kehrwerte wächst wie ln(n) an und mit dem Nenner n im Nenner geht ln(n)/n -> 0.
Liebe Grüße
vom Namenlosen
Das ist auch meine Vorstellung, ein Strang ohne Anfang und ohne Ende.
Der Mensch ist nicht für die Unendlichkeit geschaffen, er kann sie einfach nicht begreifen. Wenn er das versucht, läuft immer gegen eine Wand.
Die (menschliche) Mathematik kann mit menschlich definierten Zahlen rechnen und insofern Hilfe bieten - aber das Ergebnis verstehen wir auch nicht.
Selbst wenn jemand verkünden würde, dass er die Grenzen des Unendlichen erreicht und verstanden hätte, würde er sofort gefragt: was ist jenseits der Grenze?
In kurzen Worten: die Mathematik hilft uns auch nicht die Unendlichkeit zu verstehen.