Mittelpunkt & Brennpunkte einer Ellipse berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ihr lieben,

ich habe hier eine Aufgabe gefunden in der man den Mittelpunkt, Brennpunkt und die Halbachsen a und b berechnen soll.

Die Funktion sieht wie folgt aus:

12x² + 4y² - 48x - 8y + 4 = 0

Zuerst habe ich mich mal bei Wikipedia informiert, dort fand ich schonmal die Mittelpunktsgleichung. Mein eigentliches Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich von der gegeben Form in die Form x²/a²+y²/b²=1 komme. Auf dieser Seite wird das ganze schonmal ziemlich gut erklärt.

http://www.mathematische-basteleien.de/ellipse.htm

Aber leider gehen die meisten schon von dieser Form aus: x²/a²+y²/b²=1

Kann mir vielleicht jemand sagen, woher ich weiß was in meiner gegebnen Form a und b ist?

Liebe Grüße Matthias

#2

Hallo,

12x² + 4y² - 48x - 8y + 4 = 0

…wie ich von der gegeben Form in die Form x²/a²+y²/b²=1 komme.

gar nicht, weil 12x² + 4y² – 48x – 8y + 4 in x und y lineare Terme enthält (–48x und –8y). Das bedeutet, dass Deine Ellipse ihren Mittelpunkt nicht im Ursprung hat.

Du musst Deine Funktion in die Form

(x – x0)²/a² + (y – y0)²/b² = 1

bringen. Das ist möglich und danach genügt einfaches Ablesen, um die Parameter der Ellipse zu kennen. (x0 | y0) ist ihr Mittelpunkt.

Kann mir vielleicht jemand sagen, woher ich weiß was in meiner
gegebnen Form a und b ist?

Das weiß kein Mensch, solange er es nicht ausgerechnet hat.

Aber leider gehen die meisten schon von dieser Form aus:
x²/a²+y²/b²=1

Die kannst Du nicht gebrauchen, weil sie nur eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung beschreibt.

Viel Spaß und Erfolg :smile:

Gruß
Martin

#3

Hallo Martin,

danke für deine schnelle Antwort. Erst habe ich lange überlegt wie ich das umformen soll. Nun habe ich einfach mal was ausprobiert, bitte nicht böse werden wenn ich total daneben liege :smile:

Ich habe es einfach gemacht wie beim Kreis; quadratische Ergänzung für x und y

Gegebene Formel: 12x² + 4y² – 48x -8y + 4 = 0

durch die quadratische Ergänzung erhalte ich:

12((x-2)² + 4) + 4((y-1)² - 1) + 4 = 0

und zum besseren rechnen

3((x-2)² - 4) + (y-1)² = 0

und somit liegt der Mittelpunkt bei (2,1)

War das richtig so? :smile:

Ich dachte mir, wenn man den Mittelpunkt wie bei einem Kreis berechnen kann, wieso denn nicht auch den Radius, bzw. große und kleine Hauptachse. :smile:

Also habe ich einmal den x – Teil ausgeklammert, den auf die andere Seite gebracht und die Wurzel gezogen also \sqrt{12} = große Hauptachse und das gleiche mit dem konstanten Wert aus der Ausgangsformel somit habe ich eine Länge von 2 für die kleine Hauptachse. Ich hoffe es stimmt so. :smile:

Liebe Grüße Matthias

#4

Hallo,

stimmt, aber ziemlich unübersichtlich. Warum bringst Du die Gleichung nicht explizit auf die von Martin vorgeschlagene Form?

Viele Grüße von
Haubenmeise

#5

Hallo Brayn,

ich wollte Dir gerade den Tipp mit quadratischen Ergänzung geben, Du warst schneller.

12((x-2)² + 4) + 4((y-1)² - 1) + 4 = 0

falsch, muss „-“ sein

und zum besseren rechnen

3((x-2)² - 4) + (y-1)² = 0

Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen

und somit liegt der Mittelpunkt bei (2,1)

Zu dem Ergebnis bin ich auch gekommen.

Wenn Du nochmal in die „angemeckerte“ Zeile zurück gehst, das Vorzeichen korrigiert, dann alles - bis auf die binomischen Formeln - ausmultipliziest und alle Zahlen einsammelst und auf die rechte Seite bringt, nach Division erhälst Du:

(x-2)^2/4 + (y-1)^2/12 = 1

Damit hast Du die Darstellung, die Du gesucht hast.

Gruß Volker

#6

Hallo ihr zwei,

wie gesagt ich wusste nicht wie ich von der gegebenen Form zu der Form komme die Martin mir vorgegeben hat.

Ansonsten muss ich mich entschuldigen :smile:, denn dieses hier kann natürlich nicht stimmen.

12((x-2)² + 4) + 4((y-1)² - 1) + 4 = 0

und zum besseren rechnen

3((x-2)² - 4) + (y-1)² = 0

Die erste Zeile ist falsch, die zweite stimmt aber außerdem habe ich wohl den ein oder anderen Schritt übersprungen.

Also nochmal zum nachvollziehen:

12((x-2)² - 4) + 4((y-1)² - 1) + 4 = 0 | : 4
3((x-2)² - 4) + 1((y-1)² - 1) + 1 = 0 | „ausklammern“ des zweiten Terms
3((x-2)² - 4) + (y-1)² - 1 + 1 = 0 | 1 - 1 = 0
3((x-2)² - 4) + (y-1)² = 0

Danke an alle die mir geholfen haben.

Liebe Grüße Matthias

#7

Hallo,

Also nochmal zum nachvollziehen:

12((x-2)² - 4) + 4((y-1)² - 1) + 4 = 0 | : 4
3((x-2)² - 4) + 1((y-1)² - 1) + 1 = 0 | „ausklammern“ des
zweiten Terms
3((x-2)² - 4) + (y-1)² - 1 + 1 = 0 | 1 - 1 = 0
3((x-2)² - 4) + (y-1)² = 0

ja, alles richtig. Nur darfst Du hier nicht schon aufhören. Löse die Klammer 3(…) auf (Ausmultiplizieren), bringe die dabei entstehende –12 auf die rechte Seite der Gleichung, und dividiere anschließend durch 12, um die rechte Seite zu 1 zu machen. Danach sieht das Ding so aus

\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} = 1

und wenn Du jetzt noch die Nenner als Quadrate schreibst

\frac{(x-2)^2}{2^2} + \frac{(y-1)^2}{(\sqrt{12})^2} = 1

dann hast Du die Gleichung in die Form (x – x0)²/a² + (y – y0)²/b² = 1 gebracht und bist fertig:

a = 2, b = √12 = 2√3 und Mittelpunkt (x0 | y0) = (2 | 1).

Gruß und schönen Sonntag
Martin

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#8

Hallo Martin,

danke für deine super Antwort, ich habe es gemacht wie beim Kreis, wenn man den Radius berechnet, (quasi Pythagoras) aber ich dachte mir schon, dass das nicht sein kann. Die große Halbache kann man so noch berechnen, die kleine jedoch nicht, bzw. nicht im reelen, da ich so die Wurzel aus -4 ziehen würde.

Also ich habe es so gemacht

3((x-2)^2) - 4) + (y - 1)^2 = 0

3(x-2)^2 -12 + (y-1)^2 = 0

3(x-2)^2 + (y-1)^2 = 12

\sqrt{3(x-2)^2 -12 + (y-1)^2} = \sqrt{12}

Das war die große Halbachse
und die kleine Halbachse, habe ich aus der Ausgangsform berechnet.

12x^2 + 4y^2 -48x -8y + 4 = 0

12x^2 + 4y^2 -48x -8y = -4

\sqrt{12x^2 + 4y^2 -48x -8y} = \sqrt{-4}

hier ist der Fehler \sqrt{-4}, ich dachte mir dann einfach, man weiß schließlich dass die Hauptachse eine positive Länge in \mathbb R darstellt und nicht in \mathbb C , also könnte man auch sagen, dass man \sqrt{|-4|} berechnet um eine positive Länge zu bekommen.

Ich war mir aber nicht sicher, wusste aber dass die Werte stimmen :smile:
Nochmals dankeschön, dass du mir den letzten Schritt noch erklärt hast, ich hätte sonst immer falsch gerechnet.

Gerade habe ich die gleiche Aufgabe als Hyperbel gerechnet und dort konnte ich den letzten Schritt, den du beschrieben hast auch gebrauchen. Die Schritte sind absolut identisch.

Bei der Hyperbel habe ich aber gelesen, dass sich eine Halbachse nur imaginär bestimmen lässt, aber mit deiner Rechenweiße zieht man keine Wurzel aus eine negativen Zahl. Das finde ich viel leichter.

http://www.mathematische-basteleien.de/hyperbel.htm

Hier habe ich gelesen, dass man die imaginäre Zahl i benutzen muss um die gleiche Form wie bei der Ellipse zu bekommen. Ich vermute mal wegen den verschiedenen Vorzeichen von x² und y².
Wenn ich das richtig verstanden habe ist es eine Hyperbel, wenn x² und y² die gleichen Vorzeichen haben und wenn sie unterschiedliche Vorzeichen besitzen ist es eine Hyperbel. Ich vermute dass deshalb das i benötigt wird, da i² = -1 ist.

Dankeschön nochmal, du hast mir wirklich sehr geholfen
Liebe Grüße Matthias

#9

Hallo,

a = 2, b = √12 = 2√3 und Mittelpunkt (x0 | y0) =
(2 | 1).

und mit den Brennpunkten, nach denen doch auch gefragt wurde, willst du den Matthias alleine lassen? :wink:

Gruß und schönen Sonntag
Pontius

#10

Hallo Pontius,

und mit den Brennpunkten, nach denen doch auch gefragt wurde, willst : du den Matthias alleine lassen? :wink:

das soll doch hoffentlich nicht heißen, dass Martin mir alles vorgerechnet hat, oder? :smile:

Aber gut dass du es nochmal erwähnt hast, ich habe mal wieder etwas in Wikipedia gesucht und etwas interessantes gefunden:

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Definitionen_un…

Diese Bild zeigt, dass die Strecke \overline{S_3F_1} gleich der Strecke \overline{MS_1} ist. Daraus folgt nach Pythagoras, \overline{MS_3} = \sqrt{(\overline{S_3F_1})^2 - (\overline{MS_3})^2} \approx 2,828427125

dadurch dass wir den Mittelpunkt schon berechnet haben müssen wir nur noch die 2,828427125 einmal zu den 1 dazu rechnen (=3,828427125) daraus ergibt sich der erste Brennpunkt. Der zweite liegt in diesem Fall unterhalb des ersten Brennpunktes, das heißt bei (1 - 2,828427125 =) -1,828427125.

Bitte korrigiert mich falls ich mich verrechnet haben sollte.

Liebe Grüße und einen schönen Restsonntag Matthias

#11

Hallo Matthias,

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Definitionen_un…

Diese Bild zeigt, dass die Strecke \overline{S_3F_1} gleich
der Strecke \overline{MS_1} ist. Daraus folgt nach Pythagoras,
\overline{MS_3} = \sqrt{(\overline{S_3F_1})^2 -
(\overline{MS_3})^2} \approx 2,828427125

da ist dir wohl ein Schreibfehler unterlaufen:
Die Strecken MS3=a=2 und S3F1=b=2*3^(1/2) sind doch gegeben und die Strecke MF1=e gesucht —> e^2=b^2-a^2.
Aber das Ergebnis ist richtig.

dadurch dass wir den Mittelpunkt schon berechnet haben müssen
wir nur noch die 2,828427125 einmal zu den 1 dazu rechnen
(=3,828427125) daraus ergibt sich der erste Brennpunkt. Der
zweite liegt in diesem Fall unterhalb des ersten Brennpunktes,
das heißt bei (1 - 2,828427125 =) -1,828427125.

Sehe ich auch so: F1(2/3,8…), F2(2/-1,8…).

Liebe Grüße und einen guten Start in die neue Woche.

Pontius

#12

Hallo Pontius,

du hast recht da habe ich mich verschrieben. :smile:

Liebe Grüße Matthias

#13

Hallo Matthias,

Wenn ich das richtig verstanden habe ist es eine Hyperbel,
wenn x² und y² die gleichen Vorzeichen haben und wenn sie
unterschiedliche Vorzeichen besitzen ist es eine Hyperbel. Ich
vermute dass deshalb das i benötigt wird, da i² = -1 ist.

so ist es. Man würde es intuitiv wohl eher nicht vermuten, aber tatsächlich sind Ellipsen und Hyperbeln mathematisch eng miteinander verwandt. Und als wenn das noch nicht genug wäre, kann man sogar noch quadratische Parabeln als dazwischenliegenden Grenzfall interpretieren. Diese drei Kurventypen bilden die Klasse der sogenannten Kegelschnitte. Dieser Begriff rührt daher, weil die Schnittlinie eines geraden Kreiskegels und einer Ebene immer eine Hyperbel, eine Ellipse oder eine Parabel ist, je nachdem, wie „schief“ die Ebene relativ zum Kegel ist.

Hier kannst Du mehr dazu lesen und Dir ein Bildchen anschauen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitte

Ganz reizvoll wäre es dann noch, die Aufgabe allgemein zu lösen. Also von der Gleichung sx² + tx + uy² + vy = 1 auszugehen und sich zu fragen, wie groß dann a, b, x0 und y0 sind in Abhängigkeit von s, t, u, v. Auch das kann man ausrechnen und mit quadratischer Ergänzung gehts am schnellsten.

Dankeschön nochmal, du hast mir wirklich sehr geholfen

Bitte, gerne :smile:

Besten Gruß
Martin