Hossa 
In einem 3-Dimensionalen Raum bilden die Punkte:
A(4/-2/0) ; B(0/6/0) ; C(2/2/6) ein Dreieck.
Du hast ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. Die Vektoren vom Ursprung des Koordinatensystems zu diesen Eckpunkten seien mit Kleinbuchstaben bezeichnet, also:
\vec a=(4;-2;0)\quad;\quad\vec b=(0;6;0)\quad;\quad\vec c=(2;2;6)
Zur Berechnung der Winkelhalbierenden WA bei Punkt A benötigen wir den Vektor von A nach B und den Vektor von A nach C. Um Von A nach B zu gelangen, kannst du zuerst von A zum Urpsrung gehen (Vektor -a) und dann vom Ursprung zum Punkt B (Vektor +b). Analog gelangst du vom Punkt A zum Punkt C, indem du erst in Richtung Vektor -a zum Urpsrung läufst und dann entlang des Vektors c zum Punkt C:
\overrightarrow{AB}=-\vec a+\vec b\quad;\quad\overrightarrow{AC}=-\vec a+\vec c
oder anders geschrieben:
\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\quad;\quad\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a
Bei der Konstruktion der Winkelhalbierenden WA mit Zirkel und Lineal würdest du eine Strecke in den Zirkel nehmen, diesen Zirkel am Punkt A ansetzen und einen Kreisbogen auf den Seiten AB und AC des Dreiecks abtragen. Dann würdest du den Zirkel mit gleicher Strecke als Zirkellänge an den beiden entstandenen Schnittpunkten ansetzen und um jeden Punkt einen Kreis schlagen. Die Kreise schneiden sich in 2 Punkten. Der eine ist der Punkt A, den du mit dem zweiten Schnittpunkt verbindest. Das ist die Winkelhalbierende.
Um dies auf die Vektoren zu übertragen, musst du zunächst die Vektoren AB und AC auf die gleiche Länge bringen. Dazu dividiert man die Vektoren am besten durch ihre Länge und erhält dann sog. Einheitsvektoren (der Länge 1). Dann addierst du die erhaltenen Vektoren. Das Ergebnis ist ein Richtungsvektor der gesuchten Winkelhalbierenden WA vom Punkt A aus gesehen:
\vec d_A=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overline{AB}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}
Einen Punkt x auf der Winkelhalbierenden bei A erhalte ich, indem ich zunächst vom Nullpunkt zu Punkt A laufe und dann ein beliebiges Stück (Parameter lambda) in Richtung des Richtungsvektors wandere:
W_A:\quad\vec x=\vec a+\lambda\cdot\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overline{AB}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}\right)
Völlig analog folgt die Winkelhalbierende bei Punkt B:
W_B:\quad\vec x=\vec b+\mu\cdot\left(\frac{\overrightarrow{BA}}{\overline{BA}}+\frac{\overrightarrow{BC}}{\overline{BC}}\right)
Diese beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt, den man durch Gleichsetzen ausrechnen kann:
\vec a+\lambda\cdot\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overline{AB}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}\right)
=\vec b+\mu\cdot\left(\frac{\overrightarrow{BA}}{\overline{BA}}+\frac{\overrightarrow{BC}}{\overline{BC}}\right)
Wenn du das als Komponenten schreibst, erhälst du 3 Gleichungen für 2 Unbekannte (lambda und mu). Dieses Gleichungssystem kannst du lösen, erhälst lambda oder/und mu und setzt den Wert in die betreffende Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist der gesuchte Mittelpunkt des Innkreises.
Das ist ja der Schnittpunkt der Senkrechten, die vom
Mittelpunkt einer Seite ausgehen.
Die Mittelsenkrechten sind etwas komplexer zu berechnen als die Winkelhalbierenden. Dafür hast du vermutlich noch nicht das nötige Handwerkszeug. Daher spare ich mir die viele Tipparbeit und hoffe auf dein Verständnis…
Viele Grüße
Hasenfuß
