Mittelwert von Mittelwerten

[Der_Frank_176821]

Hallo,

ich habe eine Menge A von I Objekten, die nicht unbedingt gleich hoch sind, ich aber annehmen, dass sie jeweils eine Höhe von h_i (i = 1…I) haben. Ich fange diese bis zu einer festgelegten Maximalhöhe H an zu stapeln bis irgendeins der Objekte nicht mehr passt, ich habe also mit J Objekten eine Teilmenge von A auf dem Stapel und kann jetzt sagen, dass diese im Durchschnitt kleiner als H/J hoch sind, ich könnte vielleicht sogar spekulieren, dass der Durchschnitt nicht größer als (H+h_f)/J wobei h_f die angenommene Höhe des letzten, nicht mehr passenden Objekts ist. Das erscheint mir aber schon sehr waghalsig, da h_f ja nur eine Annahme ist. Jedenfalls wiederhole ich den Versuch mehrmals mit immer anderen Teilmengen von A, jedoch nicht zwangsläufig mit gleichem H. Habe ich eine Möglichkeit, für die Objekte einen immer genaueren Wert für ihre tatsächliche Höhe zu bestimmen?

Zur Veranschaulichung: man stelle sich vor, ich würde unterschiedlich dicke Bücher in verschiedene Regale mit begrenzter Breite stellen, zufällig, möchte aber mit der Zeit immer zuverlässiger vorhersagen, ob ein bestimmtes Buch noch in eines der Regale passen wird wozu ich eine möglichst genauen Wert über die Breite der einzelnen Bücher bräuchte. Jedes Buch ausmessen ist übrigens genauso langweilig, wie alphabetische Sortierung.

Vielen Dank für Ideen.

Mf
Gruß vom Frank.

[Anonym_fa8710ff30b3]

Hallo,

zwar verstehe ich deine Frage nicht so richtig, aber mal eine Frage.

Wie willst du einen Durchschnitt ermitteln, ohne die Größe der Einzelobjekte zu kennen / zu ermitteln?

Vielleicht versuchst du deine Überlegungen nochmal zu sortieren und neu zu beschreiben. Wenn es um ein konkretes Vorhaben geht, beschreibe am besten, was genau du machen/ wissen möchtest.

Grüße

powerblue

[Helferlein1980]

Hallo,

also erstmal hast du eine unnötige Schlußfolgerung drin…

Wenn etwas kleiner als H/J ist, ist es auch kleiner als (H+h)/J, wenn h>=0.

Wenn du genau weißt, wie dick deine Bücher alle sind, kannst du mit Hilfe der Kombinatorik zu jeder Höhe des Stapels genau sagen, ob das nächste Buch rein passt oder nicht. Der Grund: Du hast nur eine wohldefinierte Anzahl von Möglichkeiten deine endliche Anzahl von Büchern zu stapeln. Und zu jedem Turm in jeder Höhe kannst du genau sagen, welche Kombination von Büchern diesen Stapel erzeugen können.

Wenn du jetzt aber die Dicke des nächsten Buches die Realisation einer Zufallsvariable ist, dann muss man die Verteilung kennen oder untersuchen. Kennt bzw. schätzt man dann die Verteilung der Dicke eines Buches, dass kann man Aussagen über die Dicke treffen. Und somit eine Wahrscheinlichkeit angeben, ob es noch passt oder nicht. Je mehr Stapel du hast, umso genauer kannst du es vorher sagen. Aber der Vorhersagefehler wird nicht null, sondern er geht gegen die wahre Wahrscheinlichkeit.

Bsp: Dicke ist Normalverteilt mit Mittelwert 5cm Varianz 2.25cm.

Resthöhe, also H-(summe der h_j), sei 3cm.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit dass ein zufällig aus der Bücherkiste gezogenes Buch nicht mehr passt mit Hilfes des Gaußtestes zu ermitteln: p(X>=3cm)=Wert der Verteilungsfunktion der Normalverteilung an der Stelle -4/3.

Und fertig.

[Der_Frank_176821]

Helferlein1980 und power_blue, vielen Dank für eure Antworten. Anscheinend hab ich mich etwas unglücklich ausgedrückt.

Das Beispiel mit den Büchern war allerding schon recht konkret: ich habe einen Haufen Bücher, von denen ich keine Ahnung habe, wie dick die sind. Vielleicht folgt die Dicke von Bücher im Allgemeinen irgendeiner statistischen Verteilung, im konkreten Fall würde ich aber lieber nicht davon ausgehen. Jetzt gilt es diese Bücher in eine Kiste einer bestimmten maximalen Breite zu stapeln. Dazu wähle ich zufällig solange Bücher aus dem Haufen aus, bis eines nicht mehr passt. Ich kann dann aussagen, dass die Summe der Dicken aller Bücher in der Kiste kleiner ist als die Größe der Kiste. Hat ja gepasst. Ich kann weiterhin aussagen, dass die Summe der Dicken der Bücher in der Kiste und der, welches ich in der Hand halte und nicht mehr gepasst hat, größer als die Kiste ist. Ich könnte daraus ableiten, dass die Bücher in der Kiste im Mittelwert kleiner als die Größe der Kiste dividiert durch die Ahnzahl der Bücher in der Kiste sind. Ich könnte auch ableiten, dass die Bücher in der Kiste und das, welches ich in der Hand habe, im Mittel größer als die Größe der Kiste dividiert durch die Anzahl der Bücher + 1 (dem, was ich in der Hand hab). Das sind meine Schlußfolgerungen aus dem ersten Versuche.

Alles auf Anfang zurück, Kiste auskippen, alle Bücher wieder zurück auf den Haufen, so dass der wieder ist wie am Anfang. Kiste wegstellen und eine andere nehmen, die nicht unbedingt gleich groß sein muss. Spiel von vorn, zufällig Bücher greifen und einstapeln. Schließlich werde ich daraus über eine andere Teilmenge von Büchern ganz ähnliche Aussagen wie oben treffen können. Und das mach ich jetzt ein paar 1000 mal.

Werden mir die bei jedem Versuch gewonnenen Aussagen irgendwie helfen, die tatsächliche Dicke jedes einzelnen Buchs zu bestimmen, oder zumindest einen Wert, der bei hinreichend vielen Iterationen gegen diesen konvergiert? Gestern Abend dachte ich noch, ich könnte vielleicht mit Statistik und den Mittelwerten irgendwas anfangen, die immer wieder mitteln usw. Eine kurze Simulation lief gestern aber eher entäuschend ab. Heute denke ich eher darüber nach, mir die oben beschriebenen Ungleichungen zu merken, daraus ein lineares „Ungleichungssystem“ (wenn es sowas überhaupt gibt) zu bilden und irgendwann zu lösen. Wozu ich jetzt zugegebenermaßen aber auch erstmal nicht fähig wäre.

Meinungen, Hinweise, Vorschläge?

Mf
Gruß vom Frank.

[Helferlein1980]

Helferlein1980 und power_blue, vielen Dank für eure Antworten.
Anscheinend hab ich mich etwas unglücklich ausgedrückt.

Das Beispiel mit den Büchern war allerding schon recht
konkret: ich habe einen Haufen Bücher, von denen ich keine
Ahnung habe, wie dick die sind. Vielleicht folgt die Dicke
von Bücher im Allgemeinen irgendeiner statistischen
Verteilung, im konkreten Fall würde ich aber lieber nicht
davon ausgehen. Jetzt gilt es diese Bücher in eine Kiste
einer bestimmten maximalen Breite zu stapeln. Dazu wähle ich
zufällig solange Bücher aus dem Haufen aus, bis eines nicht
mehr passt. Ich kann dann aussagen, dass die Summe der Dicken
aller Bücher in der Kiste kleiner ist als die Größe der Kiste.
Hat ja gepasst. Ich kann weiterhin aussagen, dass die Summe
der Dicken der Bücher in der Kiste und der, welches ich in der
Hand halte und nicht mehr gepasst hat, größer als die Kiste
ist. Ich könnte daraus ableiten, dass die Bücher in der Kiste
im Mittelwert kleiner als die Größe der Kiste dividiert durch
die Ahnzahl der Bücher in der Kiste sind. Ich könnte auch
ableiten, dass die Bücher in der Kiste und das, welches ich in
der Hand habe, im Mittel größer als die Größe der Kiste
dividiert durch die Anzahl der Bücher + 1 (dem, was ich in der
Hand hab). Das sind meine Schlußfolgerungen aus dem ersten
Versuche.

Alles auf Anfang zurück, Kiste auskippen, alle Bücher wieder
zurück auf den Haufen, so dass der wieder ist wie am Anfang.
Kiste wegstellen und eine andere nehmen, die nicht unbedingt
gleich groß sein muss. Spiel von vorn, zufällig Bücher
greifen und einstapeln. Schließlich werde ich daraus über
eine andere Teilmenge von Büchern ganz ähnliche Aussagen wie
oben treffen können. Und das mach ich jetzt ein paar 1000
mal.

Bis hierhin alles klar!

Werden mir die bei jedem Versuch gewonnenen Aussagen irgendwie
helfen, die tatsächliche Dicke jedes einzelnen Buchs zu
bestimmen, oder zumindest einen Wert, der bei hinreichend
vielen Iterationen gegen diesen konvergiert? Gestern Abend
dachte ich noch, ich könnte vielleicht mit Statistik und den
Mittelwerten irgendwas anfangen, die immer wieder mitteln usw.
Eine kurze Simulation lief gestern aber eher entäuschend ab.
Heute denke ich eher darüber nach, mir die oben beschriebenen
Ungleichungen zu merken, daraus ein lineares
„Ungleichungssystem“ (wenn es sowas überhaupt gibt) zu bilden
und irgendwann zu lösen. Wozu ich jetzt zugegebenermaßen aber
auch erstmal nicht fähig wäre.

Meinungen, Hinweise, Vorschläge?

Mf
Gruß vom Frank.

ALSO: Frank du musst dich entscheiden! Entweder ziehst du zufällig ein Buch aus der Kiste, dann kannst du nicht genau sagen, ob es rein passt. Denn es ist ja zufällig. Zufällig heißt ja gerade, dass du das Ergebnis deiner Ziehung nicht vorhersagen kannst.

Ich mache es mal an einem Beispiel deutlich:

Nehmen wir an, du hast einen Würfel. Die gewürfelte Augenzahl entspricht der Dicke deines einzelnen Buches. Also ist das Würfeln, wie das ziehen eines Buches. Nun sagen wir, die Summe der Würfe das 20 nicht übersteigen. Nun die Frage: Welche Aussage kann man darüber treffen, ob man mit dem nächsten Wurf des Würfels über 20 Punkte kommt. Hier entspricht 20 genau die Dicke deiner Kiste.

Jetzt gibt es 3 mögliche Situationen:

1. Die Summe der bisherigen Würfe ist kleiner oder gleich 14. Dann ist es egal, welche Zahl du Würfels, du kommst nicht über 20.
2. Die Summe der bisherigen Würfe ist 15 bis 19. Dann sind nur noch bestimmte Werte zulässig.
3. Die Summe ist 20, dann ist jeder weitere Wurf zu hoch.

Nun dazu die Wahrscheinlichkeiten:

1. Die Wahrscheinlichkeit dass der nächste Wurf die Summe alle Würfe den Wert 20 übersteigen läßt ist NULL! Weil man, egal was man wirft die Summe kleiner gleich 20 ist.

2. Hier hängt es davon ab, welche Summe bisher ist. Ist die Summe der Würfe 17, dann sind nur noch 1,2 und 3 möglich. Also die Wahrschinlich keit ist 50%, dass mit dem nächsten Wurf die 20 überschritten wird.

HIer die konkreten Wahrscheinlichkeiten:
15 -> 1/6
16 -> 2/6
17 -> 3/6
18 -> 4/6
19 -> 5/6

3. Wenn die Summe schon 20 ist, passt kein Wurf mehr.

ABER: Wenn dies deine Situation richtig beschreibt, dann kannst du keine Aussage über die Dicke der einzelnen Bücher individuell machen. Denn dann ist es eben Zufall, und damit per Definition nicht vorhersagbar, wie dick das Buch ist, dass du als nächtstes ziehst. Du kannst dann nur Wahrscheinlichkeiten angeben.

Alternativ:

Du hast eine Kiste mit Büchern. Diese Anzahl ist konstant und immer gleich. Wenn du jetzt eine vorhersage machen willst, ob ein Buch, dass als nächstest gezogen wird passt, oder nicht, dann kannst du das ganz einfach mit Hilfe der Kombinatorik lösen.

Wieder unser Beispiel von oben: Wir stellen uns jetzt vor, dass wir keinen Würfel haben, sondern einen Sack voll mit Karten, auf jeder Karte steht eine Zahl von 1-6. Sagen wir jeweils 5 mal. Also 5 karten mit dem Wert 1, 5 Karten mit dem Wert 2 u.s.w.

Also insgesamt 30 Karten. Nun siehst du zufällig eine Karte aus dem Sack und summierst die Punkte auf. Nach jeder Ziehung weißt du genau, welche Karten noch im Sack sind, und wieviel du schon und welche du schon gezogen hast.Dann ist es Aufgabe der Kombinatorik auszurechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine Karte ziehst, welche die Summe über 20 steigen läßt oder nicht.

Wenn du aber Aussagen über die einzelnen Bücher/Karten machen willst, ließ einfach den Punktwert auf der karte ab! ALLES andere ist BULLSHIT!

TIPP: Überlege dir erstmal genau was du willst und was du meinst!