Hallo,
gibt es eine Regel wie man modulo mit negativen Zahlen rechnet ?
Z.B. ist -3 mod 5 = 2 (da nimmt man 5 - 3). Aber wie rechnet man -5 mod 4 (das Ergebnis wäre 3 laut Taschenrechner) ?
Grüße,
Tris
Hallo Tris,
die Grundidee ist erstmal, soviele Vielfache von 4 anzuaddieren oder abzuziehen,
bis eine Zahl zwischen 0 und 3 rauskommt: also -5 + 2*4 = 3.
Aus diesem Gedanken bastele ich mir eine Divisionsanleitung:
Wenn ich -5 mod 4 haben will, dann rechne ich erstmal 5 mod 4 aus, das
ist 1 mod 4. Das Minuszeichen gebe ich zurück, es ist dann
-5 mod 4 = -1 mod 4
durch einmal (immer nur einmal!) Addieren von 4 komme ich auf
-1 mod 4 = 3 mod 4
also
-5 mod 4 = 3 mod 4.
Der Grundschul-Divisionsalgorithmus („Teilen mit Rest“) würde ja bei
negativen Zahlen nie terminieren…
Gruß
Stefan
Hallo,
nur noch zur Ergänzung: Du kannst dir das Modulo ganz einfach am Zahlenstrahl klar machen. Die Aneinanderreihung von in diesem Fall 0,1,2,3 setzt sich genauso im Negativen fort, wie es auch im Positiven gemacht wird.
Normal: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
----------------------------------------------------------------
Mod 4 : 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1
mfg
deconstruct
blöd gefragt
hallo
weiter gedacht kann man Modulo auch für negative zahlen haben also:
5 mod(-3)= 2
oder 5mod(-3)=-1
danke martin
Hi,
prinzipielles Vorgehen bei a mod b (b>0):
a>0:
Wähle n aus |N maximal mit a/(nb) = -1, der gesuchte Rest ist dann a + nb. Für den Fall n=0 ist der Rest |a|.
Gruß
Tyll
gar nich’ blöd 
…die Kongruenz ist für ganze Zahlen a,b,c definiert:
a = b mod c
gdw
a-b durch c teilbar
-
man „muß“ nicht wissen, was eine natürliche Zahl ist
-
logisch wasserdicht:
keine zwei Zahlen a,b sind kongruent modulo Null, weil man durch Null nicht
teilen kann
Stefan
Hallo,
allgemeiner läßt sich modulo für jeden Ring R über Ideale des Rings definieren:
a = b mod I (für ein Ideal von R) gdw. a-b ∈ I.
Für R=Z würde man im Falle von -3 das Hauptideal -3Z={ -3z | z∈Z } wählen und es gilt
2=5 mod -3Z gdw. 2-5=-3 ∈ -3Z resp. -1=5 mod -3Z gdw. -1-5=-6 ∈ -3Z
Gruss
Enno
Hallo,zurück
allgemeiner läßt sich modulo für jeden Ring R über Ideale des
Rings definieren:
kannst du mir kurz/oder lang erklären was Ideale sind (sag jetzt nicht ich soll das im Philo-Brettposten:smile:); die definition von ring kenn ich.
danke martin
Ideale
Hallo,
das sind Teilmengen von Ringen, die im wesentlichen gegenüber den Ringoperationen abgeschlossen sind (also jedes Ideal definiert einen Sub-/Unterring - die Umkehrung gilt nicht). Genauer, bei einem Ring R=(R,0,-,+,*) ist I ein Links-/Rechtsideal, wenn 1,2,3a resp 1,2,3b gelten:
- 0 ∈ I
- a,b ∈ I => a+b ∈ I
3a. a ∈ I, b ∈ R => ba ∈ R
3b. a ∈ I, b ∈ R => ab ∈ R
Bei kommutativen Ringen fällt 3a und 3b natürlich zusammen (ich hatte zuvor stillschweigend den Ring als kommutativ angenommen). Ansonsten nennt man ein Ideal, das 1,2,3a und 3b erfüllt auch „beidseitiges Ideal“. Ein „Hauptideal“ ist ein Ideal der Form aR (oder Ra), im Bsp. -3Z.
Hintergrund dieser Begriffsbildung ist, daß die Kerne von Homomorphismen von Ringen (die Kongruenzen definieren) i.allg. keine Subringe sind, sondern gerade beidseitige Ideale. Genauer hat man einen Homomorphismus f: R -> S zwischen zwei Ringen und ist Ker f={ a | f(a)=0 } ein beidseitiges Ideal (folgt unmittelbar aus den Eigenschaften eines Ringhomomorphismus + 0*a=a*0=0). Umgekehrt definieren beidseitige Ideale Kongruenzen (wie vorher beschrieben) mit denen man wieder Faktorringe bilden kann. Und vom Ring in seinen Faktorring existiert immer ein kanonischer (surjektiver) Homomorphismus. Man kann analog zu Gruppen einen Homomorphiesatz beweisen, der besagt das bei einem surjektiven Homomorphismus f: R -> S, S isomorph zum Faktorring R / Ker f ist. Beidseitige Ideale sind damit sozusagen das passende Gegenstück zu Ringhomomorphismen, wie z.B. Normalteiler in Gruppen.
Gruss
Enno
PS: Ich hoffe das war jetzt nicht allzu verwirrend 