Modulooperation mit Polynomen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich versuche nun seit langer Zeit die Modulooperation mit Polynomen innerhalb eines Körpers nachzuvollziehen. Ich benötige den Divisor und den Rest (für den erweiterten euklidischen Algorithmus).

Konkret geht es um dieses Beispiel:

(x^2+3x) \textup{ mod } (2x+2) \textup{ in } \mathbb{Z}_5

Ich versuche nun das erste Polynom (a) mittels dem zweiten (b) zu reduzieren. Dazu sorge ich erst einmal dafür, dass b normiert ist.

(x^2+3x) \textup{ mod } (2x+2)
|*(1/2)

=(0.5x^2+1.5x) \textup{ mod } (x+1)

Nun das eigentliche Reduzieren:

(0.5x^2+1.5x) \textup{ mod } (x+1) \textup{ }| a-b*0.5x

=0.5x^2+1.5x-0.5x^2-0.5x

=x

Wenn ich das so aber in Mathematica eintippe (PolynomialQuotientRemainder[x^2 + 3 x, 2 x + 2, x, Modulus -> 5]) bekomme ich ein völlig anderes Ergebnis, nämlich {1 + 3x, 3}.

Bis jetzt hatte ich das Reduzieren nur durchgeführt, wenn b bereits normiert.

Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wo mein Fehler liegt.

Beste Grüße

#2

Hallo,

ich habe noch ein anderes Ergebnis. Ich bekomme es leider nicht besser formatiert. Bitte als Polynomdivision auffassen.
(x^3+3x):frowning:2x+2)=3x^2+2x+2 Rest 4
-(x^3+x^2)
4x^2+3x
-(4x^2+4x)
4x
-(4x+4)
4
Das heißt,
4 = (x^3+3x)-(3x^2+2x+2)*(2x+2)
Das müsste alles sein, was du für den euklidischen Algorithmus brauchst.
Wesentlich ist hier, dass z.B. 1/2=3, da wir ja in Z5 sind. Und in dem Körper ist weder 0.5, noch ein anderer Dezimalbruch. Aber 2*3==6==1.

Nico

#3

Mist, hab mich verlesen. Dachte, da steht ein ^3. Hier also noch mal die Rechnung mit ^2.

(x^2+3x):frowning:2x+2)=3x+1 Rest 3
-(x^2+x)
2x
-(2x+2)
3
Das heißt,
3 = (x^2+3x)-(3x+1)*(2x+2)

Nico

1 Like
#4

Vielen herzlichen Dank!

Ich hatte einen ähnlichen Ansatz bereits versucht, dabei aber nicht nur mein b mit dem multiplikativen Inverse multipliziert sondern auch mein a.