Nach welcher Zeit ist ein Behälter bei gegebenen Querschnitten leergelaufen?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen.
Gegeben ist ein Behälter der Höhe h = 2m und einem Querschnitt A1 = 1m^2. An der Unterseite des Behälters ist eine Öffnung mit dem Querschnitt A2 = 1cm^2. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Behälter vollständig gefüllt. Welche Zeit tE verstreicht, bis der Behälter leergelaufen ist?

Dazu habe ich folgendes gemacht. Die Kontinuitätsgleich sagt aus:
A1 * v1 = A2 * v2
=> v1 = (A2 * v2)/A1

Laut dem Gesetz von Bernoulli gilt:
1/2 * rho * v1^2 + p1 + rho * g * h1 = 1/2 * rho * v2^2 + p2 + rho * g * h2
Ich habe keine Angaben dazu gefunden, aber habe jetzt die Annahme getätigt, dass der Behälter sich im Vakuum befindet. Dadurch sollte sowohl p1, als auch p2 als externer Druck = 0 sein. Da sich das Loch an der Unterseite befindet sollte h2 auch = 0 sein und h1 = 2m. Teilt man noch durch rho und setzt die obrige Formel für v1 ein erhält man:
1/2 *((A2*v2)/A1)^2 + g * h1 = 1/2 * v2^2

Mit ein wenig umformen erhält man:
v2 = sqrt((2gh1)/(1-(A2^2/A1^2)))
bei den gewählten Querschnitten ist der untere Teil sogar zu vernachlässigen, so dass man sagen könnte:
v2 = sqrt(2gh1) = 6,26 m/s

Der Strömungsfluss wäre somit Q2: v2 * A2 = 0,000626 m^3/s
Also wäre tE = V/Q = (A1 * h1)/Q = 3194,88 Sekunden.

Gibt es daran irgendwas auszusetzen? Hab hier eine Lösung vorliegen, die Differentialgleichungen nutzt. Das ist doch aber zur Ermittlung von tE überflüssig oder? Bin da nicht so fit drin, deswegen kann ich nicht alles nachvollziehen, was dort geschieht. Bei der Lösung kommt aber ziemlich genau die doppelte Zeit raus. Ich kann keinen Fehler in meiner Argumentation entdecken. Ist die andere Lösung also falsch?

Danke im Vorraus für die Hilfe :smile:

#2

Die Ausflusszeiten verschiedener Flüssigkeiten oder Gase verhalten sich wie die Wurzeln der spezifischen Gewichte.

#3

Ja da muss unbeding eine DGL in h
der form A1*h’+k*sqrt(h)=0 gelöst werden. Wobei k:=A2*sqrt(2g) ist.
Sonst wird das falsch, h(t) ist eine Funktion, deren Verlauf hier a priori nicht bekannt ist.
Ich knacke noch an der Anfangsbedinung und der Lösung, bin (noch) nicht so gut bei den nichtlinearen DGLs, melde mich wieder wenn ich was habe. Man kann da auch wolfram alpha drauf loslassen, der Spuckt auch eine Lösung aus. Aber man sollte schon ein bischen selber schauen…

#4

Hallo namc0,

zunächst einmal ist dies kein stationärer Vorgang.
Stationär heisst, dass die Zeit keine Rolle spielt, man also immer genauso viel oben rein schütten würde, wie unten rauskommt.
H ist keine Funktion der Zeit und v auch nicht. Das ist aber sicher von Dir nicht so gefragt, oder?

Mit Bernouli kann man aber nur stationäre Zustände beschreiben.
Man muss diesen Fall differentiell betrachten. Zu jedem Zeitpunkt gibt es eine andere Füllhöhe, daher auch eine andere Ausflussgeschwindigkeit. Also h = h(t) und v = v(t)

Würde mann die Frage stellen, nach welcher Zeit das Gesamtvolumen der im Behälter befindlichen Flüssigkeit ausgeflossen ist unter derBedingung, dass man oben genau die Menge ständig nachfüllt, die unten ausfließt, so wäre Dein Rechenweg richtig (das wäre der stationäre Fall).

Hier ist es aber anders.

Noch ein Wort zu Deinen Randbedingungen: es bedarf nicht, dass das System sich im Vakuum befindet. Wiuchtig ist nur, das der Umgebungsdruck überall gleich ist, d.h. der Behälter nach oben hin offen ist. Dort hin (in die Umgebung) tritt dann auch die Flüssigkeit aus.
Zum anderen ist die sache zunächst für ideale Flüssigkeiten (keine innere und äußere Reibung und ideale Flüssigkeit) zu betrachten, sonst wird`s unschön. Als letzte Randbedingung ist die Laminarität (ist schon eigentlich mit der idealen Flüssigkeit getan) zu stellen. In turbulenten Strömungen kann die Ausfließzeit nicht mehr analytisch bestimmt werden. Das ist dann eine Sache für Strömungsingenieure Computersimulationen.

Schick doch bitte mal die Differentialgleichung und ich schaue sie mir gerne mal an. Vielleicht werde ich ja daraus ein wenig schlauer.

Wenn jemand dazu ein anderes Vorgehen hat, dann bitte melden!

Danke und Gruß

Volker Tries

#5

Hallo,

danke für die Antwort. Den anderen sei natürlich auch gedankt.

Dass die Ausflussgeschwindigkeit von der Höhe abhängt, leuchtet mir mittlerweile ein. Ich habe nun eine Lösung mit Differentialgleichung. Die bereits ausgerechnete Geschwindigkeit habe ich genutzt

v_2 = \sqrt{\frac{2gh}{1-\frac{A_2^2}{A_1^2}}}

Die Geschwindigkeit ist ja die Ableitung der Strecke nach der Zeit:

\frac{dh}{dt} = \sqrt{\frac{2gh}{1-\frac{A_2^2}{A_1^2}}}

Dann umgestellt auf:

dt = \frac{1}{\sqrt{\frac{2g}{1-\frac{A_2^2}{A_1^2}}}}\frac{1}{\sqrt{h}}dh

Dann habe ich von integriert:

\int\limits_{t_0}^{t_e}dt = \frac{1}{\sqrt{\frac{2g}{1-\frac{A_2^2}{A_1^2}}}} \int\limits_{h_0}^{h_e}\frac{1}{\sqrt{h}}dh

Integral wie folgt gebildet:

\int\frac{1}{\sqrt{h}}dh = \int h^{-\frac{1}{2}} = \frac{h^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2h^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{h}

Als Ergebnis habe ich dann:

t_E = \frac{2}{\sqrt{\frac{2g}{1-\frac{A_2^2}{A_1^2}}}} (\sqrt{h_E} - \sqrt{h_0})

Ich glaube da ist noch irgendwo ein Vorzeichenfehler, denn zur Zeit kommt eine negative Zeit raus. Aber generell ist das Vorgehen doch korrekt oder?

#6

Hi

Die Hoehe h1 aendert sich mit der Menge des bereits ausgeflossenen Wassers. Die Ausflussgeschwindigkeit aendert sich deshalb auch mir der Zeit.

Integral v(t) von 0 bis T muss identisch der Fluessigkeitsmenge am Anfang sein.

Best
C

#7

Hallo,

also ich bin auch auf dein Ergebnis gekommen. Kann also den Fehler auch nicht erkennen. Vielleicht ist in der Rechnung irgendeine unzulässige Vereinfachung, die in der Lösung mit den Differenzialgleichungen nicht gemacht wurde?
Wenn man Differenzialgleichungen beherrscht, erleichtern sie einem das Rechnen erheblich. Also kann man nicht unbedingt sagen, dass es überflüssig wäre, diese Methode auch bei dieser Aufgabenstellung zu benutzen. :wink:

LG
Phil

#8

Falls es noch interessant ist, ich glaube nun die richtige Lösung zu haben.
Man stelle die Bilanzgleichung für Ab- und Zuflüsse für das Gefäß auf:

q_{zu} - q_{ab} = A_1
\frac{dh}{dt}

q meint hier die Zuflüsse als Volumen pro Zeit.
Bernoulli und Toricelli liefern über die Ausflussgeschwingkeit
eine Beziehung für die q. Einen Zufluss haben wir nicht.
Eingesetzt ergibt das dann die zu
lösende homogne nichtlineare DGL erster Ordung:

\frac{dh}{dt} + \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2gh}
= 0

Mit den Integrationsmethoden die Du ja offenbar kennst
bekommt man schließlich

\int_{t_0}^{t} dt
= - \frac{A_1}{A_2}
\int_{h_0}^{h} \frac{dh}{\sqrt{2gh}}

Da verstecken sich die von mir gesuchten Anfangswerte
in den Integrationsgrenzen.

Die Stammfunktion des Integranden hattest du ja auch schon
richtig, deshalb wirds jetzt einfach.

t - t_0
= - \frac{2A_1}{A_2\sqrt{2g}}
( \sqrt{h} -
\sqrt{h_0} )

Die Zeit läuft bei Null los und zur vereinfachung der weiteren Rechnung
verpackt man den Vorfaktor schön handlich in c

c
= - \frac{2A_1}{A_2\sqrt{2g}}

Nun muss man das Einsetzen und das ganze einmal Quadrieren
um an die Funktion h(t) dranzukommen.
Es kommt schließlich die lang ersehnte
quadratische Form in t heraus, die Wolfram
alpha auch so haben wollte

h
= h_0 + t \frac{2}{c}
\sqrt{h_0}

  • t^2 \frac{1}{c^2}

Ma sucht Lösungen der zugehörigen quadratischen
Gleichung für h=0. Das ist ja der Fall wenn das Gefäß
leer ist.

t
= -c \sqrt{h_0}

Packt man dann den ganzen Kram für c wieder
rein verschwindet sogar das blöde Minus.

Mit den Zahlen habe ich dann 1,77h raus.
Ich hoffe die vielen weggelassenen
Zwischenschritte bekommst du soweit
raus, aber dieser Tex Parser hier ist so grausam zu mir

Schönen Gruß

#9

Hallo,

tut mir leid, da kann ich auch nicht weiter helfen.

Gruss

Marcus

#10

Die Differentialgleichungen sind schon wichtig, weil sich ja die Strömungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Füllhöhe stetig ändert und nicht konstant ist. Dies erklärt auch deine Zeitabweichung.