Wie weisse ich nach, dass eine Abbildung Ax + t affin ist?
A ist eine n x n Matrix und t ein Vektor.
Habe viel gegoogelt aber nichts gefunden, was mir weiterhilft.
„Parallele Geraden sind nach der Abbildung wieder parallel“ etc.
hilft mir nicht weiter, ich soll MATHEMATISCH und allgemein
beweisen dass die Abbildung affin ist.
Danke vielmals!
Hallo,
auf Wikipedia findest du eine Definition einer affinen Abbildung.
Die Verbindungsvektoren kannst du durch Subtraktion berechnen. Die Funktion f hast du bereits gegeben und musst diese nur noch einsetzen. Wenn du das alles noch etwas vereinfachst, siehst du, dass die Funktion phi existiert, nämlich phi(x)=A*x.
Nico
Hallo,
wie ist denn „affin“ bei Dir definiert?
Es gibt ja einige äquivalente Formulierungen, wann eine Funktion affin ist und um Dich zu einem schönen Beweis zu führen, sollte Dein Ziel klar formuliert sein.
Beste Grüße
Zwergenbrot
Danke, aber Wikipedia lesen kann ich auch.
Verstehst du, was da steht?
Wann ist eine Abbildung Ax + t affin?
Die original Aufgabenstellung lautet:
"
An affine transformation in R^n is given by a n × n-matrix A and a vector t :
f (x) = Ax + t
A is called the linear part and t is called the translation vector of f .
a) Given two affine transformations f1 and f2 with linear parts A_1, A_2 and translation vectors t_1 and t_2 respectively f1(x) = A_1 * x + t_1 and f2 (x) = A_2 * x + t_2.
Show that the composition f1 ◦ f2 is also affine and determine its linear part and its translation vector.
"
Ich moechte hier keine komplette Loesung haben, aber ich weiss nicht, wie man die Affinitaet nachweist.
Wie gesagt, Google und Wikipedia etc. haben mir nicht geholfen.
Hallo,
das ist ja eine ganz andere Aufgabe. Du müsstest ja nur zeigen, dass du f1 ◦ f2 in die Form Ax+t bringen kannst.
f1 ◦ f2 = f1(f2(x)) = f1(A2 x + t2) = A1 (A2 x + t2) + t1
Den Rest des Weges überlasse ich dir.
Nico
Nico bringt es auf den Punkt.
Die „Definition“ ist in der Aufgabe gegeben. Eine Funktion ist dann affin, wenn es ein Matrix A und einen Vektor t gibt, so dass f(x)=Ax+t ist.
Du musst also zeigen, dass es für die Funktion
f_2\circ f_1
eine Matrix A und einen Vektor t gibt, so dass
(f_2\circ f_1) (x) = Ax+t für alle x gilt.
Indem Du die Definition von f_2\circ f_1 einsetzt und dann Funktionsvorschriften der beiden einzelnen Funktionen findest Du A ganz leicht. – Nico rechnet das ja schon ein wenig vor, zwei weitere Gleichheiten fehlen noch, dann bist Du auch schon fertig.
Beste Grüße
Zwergenbrot