natürliche Zahlen als Lösungen eines GLS finden

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,

ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch.

Ich habe ein Gleichungssystem folgendermaßen aufgelöst.

X1=17
X2=18,5-0,3*X5
X3=7,5+0,3*X5
X4=20,5-0,5*X5
X5 frei wählbar

Nun suche ich alle Möglichkeiten für X5, die nur Lösungen mit natürlichen Zahlen ergeben. Durch genaues Hinsehen habe ich 5, 15, 25 und 35 als Möglichkeiten für X5 identifiziert. Aber da ich die anderen Fälle nur durch Ausprobieren ausschließen kann, macht mich das nicht glücklich. Das geht doch bestimmt auch mathematisch…

Kann mir jemand helfen?

Thx Micha

#2

Hi,

schreib mal bitte dein ursprüngliches Gleichungssystem, dann wird die mathematische Antwort glaube ich leichter.

Grüße

powerblue

#3

Hi,

parametrisiere um, so dass zuerst Dein konstanter Teil ganzzahlig wird, und dann auch die Faktoren des linearen Teils, also insgesamt

X5=5+10*T

Die Faktoren des linearen Teils sind dann 3 und 5, also teilerfremd, damit sind alle ganzzahligen Lösungen nur mit ganzzahligen T zu erhalten.

Gruß, Lutz

#4

Hier die Matrix des (unterbestimmten)LGS

0 0 5 3 0 | 99
1 1 1 0 0 | 43
0 0 0 2 1 | 41
0 1 1 0 0 | 26

LG
Micha

#5

Hallo,

X5=5+10*T

So habe ich X5 auch gewählt, aber ich habe das irgendwie „gesehen“ und weiß nicht, wie ich Deine Erklarung

parametrisiere um, so dass zuerst Dein konstanter Teil
ganzzahlig wird, und dann auch die Faktoren des linearen
Teils

in Einzelschritten umsetze. Kannst Du das vielleicht etwas detaillierter erklären.

Die Faktoren des linearen Teils sind dann 3 und 5, also
teilerfremd, damit sind alle ganzzahligen Lösungen nur mit
ganzzahligen T zu erhalten.

Auch das habe ich „gesehen“, aber warum ist das so?

Mein Mathe ist etwas eingerostet…

Viele Grüße
Micha

#6

hi,

X1=17
X2=18,5-0,3*X5
X3=7,5+0,3*X5
X4=20,5-0,5*X5
X5 frei wählbar

Nun suche ich alle Möglichkeiten für X5, die nur Lösungen mit
natürlichen Zahlen ergeben. Durch genaues Hinsehen habe ich 5,
15, 25 und 35 als Möglichkeiten für X5 identifiziert. Aber da
ich die anderen Fälle nur durch Ausprobieren ausschließen
kann, macht mich das nicht glücklich. Das geht doch bestimmt
auch mathematisch…

damit die lösungen ganzzahlig werden, kommen nur durch 5 teilbare zahlen für X5 in frage. (denn die konstanten anteile enden auf 0,5). die zahlen dürfen aber nicht durch 10 teilbar sein, sonst sind X2 und X3 gebrochen.

ungleichungen liefern:

X2=18,5-0,3*X5 >= 0
X3=7,5+0,3*X5 >= 0
X4=20,5-0,5*X5 >= 0

also:
18,5 >= 0,3 * X5
7,5 >= -0,3 * X5
20,5 >= 0,5 * X5

also:
X5 = 7,5 : (-0,3) = -25
X5

#7

Hi,

danke schon mal. Auf jeden Fall eine Menge Mathe :wink:

damit die lösungen ganzzahlig werden, kommen nur durch 5
teilbare zahlen für X5 in frage. (denn die konstanten anteile
enden auf 0,5). die zahlen dürfen aber nicht durch 10 teilbar
sein, sonst sind X2 und X3 gebrochen.

Das hier ist mir intuitiv klar, aber die Begründung kann ich nicht sauber ausführlich formulieren. Vielleicht so:

a*x5 muss wegen der konstanten Anteile auf ,5 enden, damit sich eine ganze Zahl ergibt.
Damit a*x5 auf ,5 endet, muss wegen a=0,3 x5 durch 5 teilbar sein und wegen a=0,5 x5 ungerade sein. Was uns zu x5=5+10*t (t aus den natürlichen Zahlen) bringt.

Oder??

LG
Micha

#8

hi,

danke schon mal. Auf jeden Fall eine Menge Mathe :wink:

naja … ein bisschen „heiße (mathematische) luft“ …

damit die lösungen ganzzahlig werden, kommen nur durch 5
teilbare zahlen für X5 in frage. (denn die konstanten anteile
enden auf 0,5). die zahlen dürfen aber nicht durch 10 teilbar
sein, sonst sind X2 und X3 gebrochen.

Das hier ist mir intuitiv klar, aber die Begründung kann ich
nicht sauber ausführlich formulieren. Vielleicht so:

a*x5 muss wegen der konstanten Anteile auf ,5 enden, damit
sich eine ganze Zahl ergibt.
Damit a*x5 auf ,5 endet, muss wegen a=0,3 x5 durch 5 teilbar
sein und wegen a=0,5 x5 ungerade sein. Was uns zu x5=5+10*t (t
aus den natürlichen Zahlen) bringt.

drehs doch um:
wenn du x5 = 5 + 10t ansetzt, werden alle lösungen natürlich (für t = 0, 1, 2, 3). du kannst das ja in die entsprechenden gleichungen einsetzen.

m.

#9

erledigt

drehs doch um:
wenn du x5 = 5 + 10t ansetzt, werden alle lösungen natürlich
(für t = 0, 1, 2, 3). du kannst das ja in die entsprechenden
gleichungen einsetzen.

Hört sich natürlich professioneller an…

Danke!