Nicht exestierende Grenzwerte

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Mathefreunde,
Ich habe gerade folgende Übung durchgerechnet:
Lim n ->unendlich (1-3/n)^(2-n)
Mein Gedankengang war 3/n bei n gegen unendlich geht gegen 0 das heißt der Inhalt der Klammer geht gegen 1. Die Potenz geht gegen -unendlich das Ergebnis währe also 1^-unendlich also 1/1^unendlich=1. In Wirklichkeit exestiert jedoch kein Grenzwert. Und die Formel nimmt diese Haarsträubende Form an. Woran erkenne ich das etwas (das kein sinus und cosinus enthällt) keinen Grenzwert hat? Welchen Fehler habe ich gemacht?
Sry für die Schriftform ich komm mit dem latex in dem Forum hier nicht zurecht.

LG
Parvati

#2

Hi,

Du weißt, dass der Grenzwert von (1+x/n)^n existiert und den Wert exp(x) hat? D.h., auch Deine Aufgabe hat einen Grenzwert exp(3).

Der Graph kommt diesem Grenzwert eigentlich recht gut nah, das Verhalten am Ende ist wahrscheinlich numerischen Fehlern geschuldet, diese Potenzformel ist nicht die beste Variante, die Exponentialfunktion auszurechnen.

Gruß, Lutz

#3

Addendum:

Um einen besseren Graph zu erhalten, ersetze n durch 1/x, d.h., betrachte (1-3*x)^(2-1/x) um den Punkt x=0.

Gruß, Lutz

#4

Hi,
danke für die Antwort. Was genau meinst du mit numerischen Fehlern? Und wie kommst du auf 3? Ich habe beim ausrechnen ja eine 1 erhalten aber die graphische Lösung ergab keinen Grenzwert. Könntest du mir bitte deinen Rechenweg erklähren?
Lg

#5

Hallo Parvati

Ich habe beim ausrechnen ja
eine 1 erhalten aber die graphische Lösung ergab keinen
Grenzwert. Könntest du mir bitte deinen Rechenweg erklähren?

Graphisch kannst du weder die Existenz noch die Nichtexistenz eines Grenzwertes herausfinden, denn der Grenzwert existiert gegebenenfalls ja im Unendlichen, und diesen Bereich einer Funktion kann man ja schlecht zeichnen.
Worauf Lutz dich hingewiesen hat ist folgendes.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)^{2-n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)^2\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)^{-n}=1\cdot\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n

Erstens sollte dir klar sein, warum das erste Gleichheitszeichen gilt, und zweitens sollte dir der Ausdruck ganz rechts bekannt vorkommen.

Gruß

hendrik

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