Normalengleichung? Wie findet man sie

Welche einzelnen schritte gibt es um an die normale zu kommen. Kann mir bitte jem., die einzelnen schritte aufschreiben?
und was gibt so eine gleichung an? Was ist das?

wenn eine funktion + ein beliebiger x wert angegeben sind!

z.B. wie bei der Tangente

  1. x in f(x) einsetzen, somit erhält man y
  2. x in f’(x) einsetzen, somit hat man die Steigung m
  3. die einzelnen herausgefunden sachen zusammen setzen,
    y= m * x + b

Normale = Gerade senkrecht zur Tangente.

Gleichung der Normalen : Y = ax + b.
Glechung der Tangenten : Y = cx +d. Zunächt die Gleichung der Tangenten berechnen.

c und d muß man herausfinden, um die Gleichung der Normalen zu bestimmen. Der Punkt (x0,y0) ist ein gemeinsamer Punkt von f, der Tangenten und der Normalen, d.h. wenn man x0 in die Gleichung der Normalen einsetzt, kommt y0 heraus. Die Gerade der Normalen steht senkrecht auf der Tangente, d.h.
m*c = -1 -
( 2 Geraden sten senkrecht aufeinander wenn das Produkt ihrer Steigungen = -1 ist )
d.h. c = -1/m, d.h. die Gleichung der Normalen lautet Y = (-1/m)*x+d. (*)

Nun ist noch bekannt, daß die Normale durch den Punkt (x0,y0) geht, d.h. wenn man dies in (*) einsetzt erhält man
d = y0+(1/m)*x0

die Gleichung der Normalen lautet also
Y = -1/m*x+ y0+(1/m)*x0, wobei m die Steigung der Tangenten an die Fuktion f im Punkt (x0,yo) ist

y= T(X) = m \cdot x + y_0 \Rightarrow
y =N(x) = -\frac{1}{m} \cdot x+ y_0+\frac{1}{m}\cdot x_0

Hier schau mal ob dich das weiterbringt

http://www.youtube.com/watch?v=rPXR1UEbW3A

Hallo

Welche einzelnen schritte gibt es um an die normale zu kommen.
Kann mir bitte jem., die einzelnen schritte aufschreiben?
und was gibt so eine gleichung an? Was ist das?

Normale bedeutet eine Gerade, die senkrecht auf etwas steht. In deinem Falle heißt das eine Gerade, die senkrecht auf der Tangente an eine Funktion f(x) steht.

wenn eine funktion + ein beliebiger x wert angegeben sind!

z.B. wie bei der Tangente

  1. x in f(x) einsetzen, somit erhält man y

ist bei der Normale auch so.

  1. x in f’(x) einsetzen, somit hat man die Steigung m

die Steigung der Tangente ja. Die Steigung m2 der Normale ist dann m2=-1/m. Findet man übrigens im Tafelwerk.

  1. die einzelnen herausgefunden sachen zusammen setzen,
    y= m * x + b

Ja. wobei man natürlich m2 nehmen muss bei der Normalen

Hi

Hmm, wenn ich die Frage richtig verstehe, dann suchst Du eine Normale für einen Punkt (x|f(x)) für eine gegebene Funktion f(x).

Der Anfang mit der Tangente ist schon einmal gut, d.h. Du hast dann die Tangentengleichung

t(x) = f’(x_t) * x + f(x_t)

x_t ist der Punkt an dem Du die Tangente und auch die Normale bestimmen willst, t(x) ist die Tangente.

Nun zur Normalen:

Eine Normale steht immer senkrecht zu einer gegebenen Gerade, d.h. - falls man Richtungsvektoren schon kennt - muss man die Richtungsvektoren der Tangente und der Normalen skalar multiplizieren und es muss dann Null rauskommen.

Im 2-dimensionalen Fall ist das einfacher, eine Gerade mit der Steigung 1 hat eine Normale mit de Steigung -1, eine Gerade mit der Steigung 5 eine Normale mit der Steigung -1/5, sprich eine Gerade mit der Steigung m hat eine Normale -1/m.

Damit solltest Du die Normalengleichung n(x) einfach bekommen:

n(x)= -1/m * x + b

m und b hast du ja schon von oben.

Hilft das?

C

Oh man! Klingt echt easy!
Vielen lieben dank!
Hilft mir sehr sehr sehr ich frag mich warum die ganzen youtuber z.b. so viel ueber den tangentenktam haben, aber nicht darüber?!?

Lg

Ich bin mir nicht ganz sicher was du willst/meinst.

Vielleicht schaust du mal hier:
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_01_05.htm

Viel Erfolg!

Ich glaub da ust ein fehler drin … du meintest : m und b hast du ja von obeb. Aber ich hab heute iwie gehoert dass man b, y und m bei der normalen gleichung nochmal extra berechnen muss :confused:

Ich glaub da ust ein fehler drin … du meintest : m und b hast
du ja von obeb. Aber ich hab heute iwie gehoert dass man b, y
und m bei der normalen gleichung nochmal extra berechnen muss

/

Hmm, ja du hast recht, b der Normalen ist natürlich eine Funktion von x_t, sorry

Also, die Normalengerade muss auch durch den Punkt der Tangente gehen, richtig?

D.h. wenn die Tangente die Form t(x)=m*x+b = f’(x_t) * x + f(x_t)

m=f’(x_t), b=f(x_t), dann ist bei x=x_t, der Funktionswert f(x_t)=t(x_t) (sonst wäre es keine Tangente).

Die normale hat die Steigung -1/m=-1/f’(x_t) ud ja du hast recht, b muss man neu berechnen, also bspw.

n(x)=-1/f’(x_t)*x+b_n

bekannten Punkt einsetzen: x=x_t, n(x_t)==f(x_t)

b_n = f(x_t)+x_t/f’(x_t)

D.h. allg. ist n(x)=-x/f’(x_t)+f(x_t)+x_t/f’(x_t)=

(x_t-x)/f’(x_t)+f(x_t)
(natürlich nur für den Punkt x_t)

Mal kurz Beispiel anschauen

f(x)=-3*x^2+3x-5, f’(x)=-6*x+3

Tangentengleichung in Punkt x_t:

Funktionswert: f(x_t)=-3*x_t^2+3*x_t-5
Steigung: f’(x_t)=-6*x_t+3

d.h.
t(x; x_t) = (-6*x_t+3) * x + (-3*x_t^2+3*x_t-5)

(nicht verwirrent lassen, t(x; x_t) heißt nur, die Tangentengleichung ist eine Funktion von x, abhängig von der Wahl von x_t.

n(x; x_t) = (x_t-x)/f’(x_t)+f(x_t) (von oben), einsetzen:

n(x; x_t) = (x_t-x) / (-6*x_t+3) + (-3*x_t^2+3*x_t-5)

Ich hoffe, das passt jetzt - bitte nachrechnen - bin noch ein wenig müde.

Perfekt! Vielen dank fuer die ganze mühe!
Lg

Hallo,
Die Tangente hast du ja schon beschrieben. Nun überlege, was an der Normalen anders ist. Die Normale ist nämlich immer rechtwinkelig zur Tangente. Also muss es was mit der Steigung m zu tun haben. Die Schritte sind auch soweit gleich. Zeichne dir mal eine Normale und eine Tangente auf. Du wirst sehen: die Vorzeichen sind immer verschieden. Naja, eigentlich müsste es -1/m sein, wenn ich mich recht erinnere

Sorry, das ist mein wunder Punkt. Ich kann dir hier leider nicht helfen, weil ich da selbst unsicher bin.