Normalform einer orthogonalen Matrix

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich plage mich grad damit herum, wie ich eine orthoganle Matrix in eine Normalform bekomme.

Die Normalform soll dabei so aussehen:

http://www.file-upload.net/download-4575615/normalfo…

Wenn es nur eine 3x3 Matrix ist, bekomme ich das hin, da ich auch nur einen dieser Ai-Blöcke habe. Aber ich verstehe nicht, was ich machen muss, wenn es mehrere der Ai-Blöcke gibt.

Mir würde es helfen, wenn ich eine Beispielrechnung hätte (also mit einzelnen Rechenschritten) anhand derer ich das nachvollziehen könnte.
Bisher habe ich aber nur Aufgaben gefunden, in denen nur ein Ai-Block vorkommt. Hatt jemand vielleicht so eine Beispielrechnung für mich?

Danke für eure Hilfe

powerblue

#2

Hi,

bestimme die Eigenwerte (mit komplex konjugierten Paaren), die Eigenvektoren (ebenfall mit komplex konjugierten Paaren) und ersetze jedes komplex konjugierte Paar von Eigenvektoren durch das Paar aus Real- und Imaginärteil. Danach auf Länge 1 normieren.

Da orthogonale bzw. unitäre Matrizen auch normal sind, kann die so entstehende Eigenvektorbasis bzw. die reelle Version davon orthogonal gewählt werden. Sind alle Eigenwerte unterschiedlich, dann ist die Orthogonalität automatisch.

Ich glaube, Smith-Normalform nennt sich diese reelle Version der Jordan-Normalform.

Gruß, Lutz

#3

Hallo Lutz,

danke für dich Antwort, allerdings verstehe ich nicht so ganz, wie sie gemeint ist.

bestimme die Eigenwerte (mit komplex konjugierten Paaren), die
Eigenvektoren (ebenfall mit komplex konjugierten Paaren) und
ersetze jedes komplex konjugierte Paar von Eigenvektoren durch
das Paar aus Real- und Imaginärteil. Danach auf Länge 1
normieren.

Also, ich möchte das ganzen über IR lösen, da bleiben also u. U. irreduzible Faktoren, die für die Ai-Blöcke verantwortlich sind. Dabei stelle ich mir die Frage, wie ich rechnen muss, wenn es mehr als einen irreduziblen Faktor gibt.

Auch verstehe ich nicht, was du mit dem Ersetzten „… durch das Paar aus Real- und Imaginärteil…“ meinst.

Ich glaube, Smith-Normalform nennt sich diese reelle Version
der Jordan-Normalform.

Ne, ich glaube nicht, das die damit etwas zu tun hat.

Grüße

powerblue

#4

Hi,

Du sollst ja auch erstmal die komplexe Zerlegung bilden. Diese kann dann wie angegeben in eine reelle Zerlegung umgewandelt werden.

Ich dachte mal einen speziellen Namen für

http://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Normalform#Reell…

gelesen zu haben.

Gruß, Lutz

#5

Sch war richtig, es handelt sich um die „reelle Schur-Zerlegung“, die genau die von Dir angegebene Form hat. Normale Matrizen haben eine exakte Schur-Zerlegung und umgekehrt.

Das Ergebnis des reellen QR-Algorithmus ist gerade die Schur-Zerlegung. Auf orthogonale Matrizen angepasst wäre sinnvollerweise zuerst eine Blockzerlegung mit dem (impliziten) Doppelshift (-1,+1) vorzunehmen und dann auf beiden Blöcken mit der üblichen Shift- oder impliziten Multishift-Strategien fortzufahren.

Gruß, Lutz

#6

Hi Lutz,

reelle jordansche Normalformen haben wir in meinem Kurs nicht behandelt. Vielleicht ist die orthogonale Normalform ein Spezialfall davon. Das müsste ich mir aber nochmal ansehen.

Es muss aber eine andere Möglichkeit geben, die sich zu nutze macht, dass die Ausgangsmatrix orthonormal ist.

Bei uns läuft das unter „Hauptsatz über orthonormale Endomorphismen“, ich weiß aber nicht, ob das allgemein so genannt wird.

Ich bin auch mehr auf der Suche nach einer passenden Beispielaufgabe. Das wäre dann für mich leichter nachzuvollziehen. Die Vorgehensweise ohne Beispiel zu beschreiben reicht meinem Gehirn leider nicht, um es zu verstehen … :frowning:

Grüße

Michael

#7

Hallo Lutz,

ne, das ist es glaub ich auch nicht.

Das, was hinterher als Normalfrom rauskommen soll, hat auf der Diagonalen nur -1, 1 oder diese 2x2-Blöcke, die eine Drehung beschreiben.

Grüße

Michael

#8

Doch,

genau das ist es. Die -1, +1 und Rotationsblöcke entsprechen den Eigenwerten der orthogonalen Matrix.

Gruß, Lutz

#9

Hallo Lutz,

falls es noch interessiert, habe ich mein Problem jetzt gelöst.

Also, gesucht war eine Matrix P mit

P^(-1) * A * P = P_transponiert * A * P = N

und N ist die Normalform, die ich oben schon mal beschrieben habe.

Die Vorgehensweise ist so:

Zuerst die Eigenvektoren zu den Eigenwerten berechnen.

Dann das othogonale Komplement zum Erzeugnis dieser Vektoren bilden. Daraus einen Vektor mit Av 0 wählen. Diesen Vektor mit A mutliplizieren, also Av = u. Dann sind v und u die nächsten beiden Vektoren für die Matrix P. Ggf. u und v noch normieren.

Dann zum Erzeugnis der bisher gefundenen Vektoren wieder das orthogonale Komplement bilden, und wieder so verfahren wie oben. Das ganze solange wiederholen, bis die Matrix P komplett ist.

Grüße

powerblue

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#10

Hi,

das wird so wie beschrieben nicht ganz funktionieren, aber ich nehme an, es ist eine Potenziteration im orthogonalen Komplement der bisherigen Eigenvektoren gemeint. Und möglichst noch mit einem Shift, da sonst die Eigenvektoren zu den verschiedenen Eigenwerten gemischt werden, da alle Eigenwerte einer orthogonalen Matrix denselben Betrag 1 haben.

Ciao Lutz

#11

Hi,

naja, ich kann es halt nicht so schön beschreiben…

Jedenfalls funktioniert es jetzt.

Grüße

powerblue