Normalformen von Matrizen - wozu das alles?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi zusammen,

ich plage mich momentan mit der Ermittlung von Normalformen von Matrizen herum.

Mal begesehen von den Sachen, die man alle für die Berechnungen beachten muss, frage ich mich, wozu das alle gut ist? Was habe ich davon, wenn ich die Matrizen in Konjugationsklassen einteilen kann?

Soweit ich das verstanden habe, lassen sich damit z. B. (häufiger auftretene Berechnungen vereinfachen/beschleunigen), da die Normalformen häufig Nullen aufweisen. Der Zusammenhang von Matrizen und Abbildungen ist mir schon klar, nur so recht fällt mir kein Beispiel ein.

Kann mir bitte mal jemand an einem Beispiel erklären, wo genau diese Vereinfachnungen liegen? Wenn es geht, ein ganz konkretes Beispiel und bitte für Dummis erklärt.

Grüße

powerblue

#2

Du möchtest

den exakten Rang einer Matrix bestimmen => Stufennormalform

den numerischen Rang einer Matrix bestimmen => Singulärwertzerlegung

Eigenfrequenzen in einem Finite-Elemente-Modell => Eigenwertzerlegung

Dann kann man das Ganze noch in Integer- oder Restklassenarithmetik machen, wo dann Smith- und Frobenius-Normalform wichtig werden,…

Gruß, Lutz

#3

Hallo,

danke für die Antwort. Leider hilft die mir noch nicht so richtig weiter. Ich versuche mal deutlicher zu schreiben, was ich mir bisher so zusammengedichtet habe, was eine (praktische, vielleicht IT-mäßige) Anwendung betrifft.

Also, ich hab erst mal einen Endomorphismus. Damit ich damit „schöner“ rechnen kann, erstelle ich mir erst mal die Darstellungsmatrix.

Und damit ich mit der Darstellungsmatrix noch schöner rechnen kann, ermittel ich deren Normalform - also eine Matrix mit schön vielen Nullen.

Passt das so ungefähr? Fall nicht, wo ist es falsch und falls ja, hat für so eine Anwendung jemand ein Beispiel, so eins zum nachrechnen am besten…?

Grüße

powerblue

#4

Ja,

stimmt so. Wenn Du mit Endomorphismen anfängst, auf der Ebene geht es erstmal nicht so sehr um die Nullen, sondern um eine an den Endomorphismus angepasste Basis. Eine angepasste Basis ist eine solche, die möglichst viele Nullen in der Darstellungsmatrix erzeugt.

Die beste Basis wäre eine, in der jeder Vektor einen invarianten Unterraum aufspannt, so dass der Endomorphismus auf diesem wie eine Streckung wirkt. D.h. eine Eigenvektorbasis.

Ein Nebeneffekt ist, dass die Darstellungsmatrix in dieser Basis eine Diagonalmatrix ist und eine Diagonalmatrix maximal viele Nullen hat.

Gruß, Lutz