Nullstelle gesucht

Wissenschaft Mathematik
#1

Servuz Leute,

Also um ehrlich zu sein isses mir grade peinliche aber finde die Nullstellen für die folgend Gl. nich : X^4 - 4X^3 - 13X^2 + 4X + 12 .
Bin grade dabei meine Mathefähigkeiten etwas aufzufrischen weil ich bald mim Studium anfangen will, merke abba grade, dass es langeeeeee her ist :wink: .

Merci schon mal im vorraus
Green_Pepper

#2

Moin,

die Formeln für die Lösung sind recht komplex, deshalb werden in Übungsaufgaben (fast) immer Aufgaben gestellt, bei denen man durch Raten zunächst eine Nullstelle finden kann.

Dann kommt die Polynomdivision und evtl. das gleiche Spielchen nochmal.

Wenn Du bei einer quadratischen Gleichung angekommen bist, hilft dir die p-q-Formel.

Wenn ich mich nicht vertan habe, ist die Lsg. für die erste Nullstelle recht einfach, probier mal so einige ganze Zahlen aus.

Gruß Volker

#3

Hallo Green Pepper!

Also um ehrlich zu sein isses mir grade peinliche aber finde
die Nullstellen für die folgend Gl. nich : X^4 - 4X^3 - 13X^2 + 4X + 12 .

Wir machen das mal wie in der Schule, und nicht mit abstrusen Lösungsformeln, die sich eh niemand merken kann.

  1. Eine Nullstelle raten. Man probiert natürlich erst einmal die einfachen Zahlen (+1, -1, +2, -2, wenn’s komplex wird, noch ±i; evtl. ±Wurzel(2)). Dann sehen wir, dass 1 eine Nullstelle ist, denn 1-4-13+4+12=0.

  2. Polynomdivision durch (x-Nullstelle).

(x⁴-4x³-13x²+4x+12)/(x-1) = x³-3x²-16x-12.

  1. Vom resultierenden Polynom die Nullstellen bestimmen. Da wir noch Grad 3 haben, müssen wir wieder raten. Diesmal geht -1.

  2. Polynomdivision.

(x³-3x²-16x-12)/(x+1) = x²-4x-12.

  1. Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms kriegen wir ohne Raten raus: Zur Wahl stehen p-q-Formel, a-b-c-Formel, quadratische Ergänzung oder direkte Faktorisierung mit Hilfe von Vieta. Heraus bekommst Du die Nullstellen 6 und -2.

  2. Fazit

Die Nullstellen liegen bei 1, -1, 6 und -2. Demzufolge lässt sich das Polynom faktorisieren als

x⁴-4x³-13x²+4x+12 = (x-1)*(x+1)*(x-6)*(x+2).

Liebe Grüße
Immo

#4

Also zunächst mal Thx für eure schnellen Antworten, aber durch eure Antworten hat sich noch ne kleine neue Frage aufgetan, und zwar:
In Schritt 2. wird die polynomdivision mit (x-1) durchgenommen und in Schritt 4 mit (x+1). Liege ich richtig in der Annahme, dass das was mit den Hochzahlne zutun hat?

Danke schon ma im Vorraus

#5

Hey,

nein, dass hat nichts mit den Hochzahlen zu tun, sondern mit der Tatsache, dass man einen Term zerlegen kann in (x - Nullstelle) * (x - Nullstelle) * …

Wichtig ist, dass es - Nullstelle ist.
Aus diesem Grund wird z.B. aus der Nullstelle bei x = -1, die Polynomdivision mit (x - ( -1)) gemacht, also mit (x+1).

Gruß René

PS: Kann man auch schön unten an dem Term sehen, den Immo noch geschrieben hat:

x⁴-4x³-13x²+4x+12 = (x-1)*(x+1)*(x-6)*(x+2)

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#6

moin;

was genau meinst du mit Hochzahlen?

Wie Immo schon schrieb, kannst du nach der Bestimmung einer Nullstelle durch (x - Nullstelle) teilen (Polynomdivision), da das entstehende Polynom die gleichen restlichen Nullstellen hat, wie die ursprüngliche Funktion auch.

Also: Wir wissen, dass f(x) beispielsweise die Nullstelle 1 hat, dann können wir zur Berechnung der weiteren Nullstellen die Nullstellen der Funktion f(x)/(x-1) berechnen, da die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms niedrigeren Grades meist einfacher ist (bei Grad=2 beispielsweise die pq-Formel, bei Grad=1 sogar lediglich umstellen).

mfG

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