Ich habe folgende Funktion:
f(x) = 1/4 x^4 - x^3 + 1
Zu dieser Funktion soll ich die Nullstellen finden.
Somit:
1/4x^4-x^3+1 = 0 bzw.
x^4 - 4x^3 + 4 = 0
Wie sieht nun der Lösungsweg aus?
hey,
du hast da eine richtig harte nuss 
du hast eine polynomfunktion 4.grades gegeben, das heisst, du hast maximal 4 nullstellen.
am besten startest du mit einer wertetabelle, zb im intervall (-5; 5)
bei x=1 erhältst du f(x)= 0.25
bei x=2 erhältst du f(x)= -3
das bedeutet, dass die funktion zwischen x=1 und x=2 eine nullstelle haben muss, da die funktionswerte das vorzeichen ändern.
selbigens gilt auch für den bereich zwischen x=3 und x=4.
die nullstellen kannst du im vorliegenden fall leider nicht exakt bestimmen, sondern nur näherungsweise, mithilfe des newton’schen Näherungsverfahren.
als startwert X0 nimmst du jenen wert, der näher an null dran ist, also hier x=1.
die idee ist die, dass du im punkt (1, 0.25) die tangente an die funktion legst, und diese mit der x-achse schneidest. dieser schnittpunkt (die x-koordinate nennnen wir x1) liegt schon näher bei der gesuchten nullstelle, als dein startwert x0.
nun rechnest du zu x1 den zugehörigen y-wert y1 aus. in diesem punkt (x1, y1) wiederholst du nun den vorgang. also
- tangente aufstellen,
- tangente mit der x-achse schneiden (ergibt x2),
- y-koordinate berechnen (ergibt y2).
damit das alles ned so kompliziert ist, gibt es dazu auch eine formel:
xn+1= xn - f(xn)/f’(xn)
wobei f’ für die erste ableitung steht- die brauchst du ja zum berechnen der steigung der tangente.
fertig bist du, wenn du merkst, dass sich deine xn-werte nur mehr ab der z.b. dritten nachkommastelle ändern. (theoretishc könntest du endlos weiterrechnen, und deine nullstelle beliebig exakt berechnen)
hoff du kennst dich aus,
lg
lili
du hast eine polynomfunktion 4.grades gegeben, das heisst, du
hast maximal 4 nullstellen.
Real werden es nur 2 sein.
am besten startest du mit einer wertetabelle, zb im intervall (-5; 5)
bei x=1 erhältst du f(x)= 0.25
bei x=2 erhältst du f(x)= -3
Hier kann man noch etwas einschränken.
-> Negative Zahlen kommen als Lösung nicht in Betracht.
x^4 ist immer positiv und -((-z)^3) wird auch immer positiv.
Damit kann man also nie auf Null kommen.
-> Zwischen 0…1 bringt auch nix, weil
x^4 - 4x^3 = -4 auch nicht zu erreichen ist.
x^4 ist dann immer größer 0 und x^3 größer +4 Macht auch keinen Sinn,
weil für x=4 gilt x^4 = 4 x^3.
Also liegen alle möglichen Lösungen nur zwischen +1 und +4.
das bedeutet, dass die funktion zwischen x=1 und x=2 eine
nullstelle haben muss, da die funktionswerte das vorzeichen
ändern.
selbigens gilt auch für den bereich zwischen x=3 und x=4.
genau.
die nullstellen kannst du im vorliegenden fall leider nicht
exakt bestimmen, sondern nur näherungsweise, mithilfe des
newton’schen Näherungsverfahren.
Oder man macht es sich leicht und liest die Lösungen hier einfach ab:
http://www.mathe-fa.de/de#result
Gruß Uwi