Hallo Leute!
Gestern hat mich ein Freund gefragt, wie man die Oberläche einer Kugel mittels Integral berechnen kann. Ich hab in ganz vielen schlauen Büchern nachgesehen, doch nirgends eine Herleitung für die Oberfläche der Kugel gefunden.
Ich könnte mir vorstellen, daß man dies mit der Länge der Kurve berechnet oder so, bin aber auf keinen grünen Zweig gekommen.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Danke,
Mone.
Hi,
jede Halbkugel ist eine Parabel also eine quadratische Funktion. Wenn Du die Halbkugel(Funktion) auf die y-Achse „legst“ hast Du den y-Wert für x=0. An der Schnittfläche liegt sie auf der x-Achse auf, also hast Du die beiden Nullstellen, nämlich +/- Durchmesser/2.
Damit sollte sich doch schon was anfangen lassen.
Gruß
Christian
Im Prinzip ist das Integral ganz einfach:
/ / /
O = | | | dx dy dz
/ / /
wobei die Integrationsgrenzen für jeweils x, y und z von -r bis r laufen, allerdings mit der Randbedingungen r² = x² + y² + z². Diese Randbedingunge stellt sicher, daß nur die Punkt auf der Kugeloberfläche zum Integral beitragen.
Durch diese Randbedingung wird das Integral allerdings beim ausrechnen relativ schwierig.
Daher bietet es sich an, sich die Symmetrie der Kugel zu nütze zu machen und für die Integration sog. Kugelkoordinaten zu verwenden. Dabei wird ein Punkt im Raum nicht mehr durch x,y und z, sondern durch den Abstand r vom Ursprung und zwei Winkel (ähnlich der geograph. Koordinaten) beschrieben. Für Details dazu verweise ich auf http://www.ipp.mpg.de/~git/exp1/koordinaten.pdf
Die Umrechnung ist wie folgt:
x = r sin(theta)cos(phi)
y = r sin(theta)sin(phi)
z = r cos(theta)
Für das Integral ist das alles nicht weiter wichtig… 
Das Integral verwandelt sich nun in folgende Form:
2Pi Pi
/ /
O = | | r² sin(theta) dTheta dPhi
/ /
0 0
Das ist anschaulich, weil:
* wir integrieren öber die Oberfläche der Kugel, insofern
ist r = const und daher gibt es kein (drittes) Integral,
das von r abhängt.
* Dadurch, daß man über beide Winkel integriert, deckt man
jeden Punkt auf der Oberfläche einmal ab. Warum einmal bis
Pi und einmal bis 2*PI - logisch, wenn man sich geograph.
Koordinaten auf der Erde ansieht. Breite geht von -90 bis
90° (180° = Pi), Länge dagegen von -180 bis +180° (zusammen
360° = 2*Pi).
Der Faktor r²sin(theta) taucht nun im Integral auf, weil ich zwischen zwei verschiedenen Koordinatensystemen umgerechnet habe. Dadurch ändert sich das sog. Volumentelement und dem muß ich mit diesem Faktor Rechnung tragen.
Wenn ich das Integral nun ausrechne, dann ist es unabhängig von r, und ich kann den Faktor herausziehen. Der Integrant sin(theta) ist unabhängig von Phi, insofern kann ich die Integration über Phi unabhängig durchführen. Integral von 0…2Pi über 1 ergibt einen Faktor 2*Pi. Das Integral 0…Pi über sin(theta) ergibt den Wert 2.
Ergebnis:
O = r² * 2*Pi * 2 =
= 4 r² Pi
Das ist die richtige Formel.
HAllo Mone,
wenn dir Kugelkoordinaten geläufig sind wirds ganz leicht:
(das Flächenelement lautet „dtheta sin(theta)R²“)
A=int(0…2pi)dphi *int(0…pi)dtheta sin(theta)R²=2pi*2R²=4piR²
wenn dir der Begriff des „Raumwinkels“ geläufig ist (sowas wie der Winkel im Bogenmaß in 3 Dimensionen, also statt Bogenlänge/Radius Flächeninhalt/Radius²), dann wirds geradezu lächerlich einfach:
A=int(voller Raumwinkel) domega R² =4piR², weil der volle Raumwinkel 4pi ist.
Gruß
Oliver
Hallo EXC,
jede Halbkugel ist eine Parabel
wo hast Du DAS denn her? Die Halbkugel ist eine Wurzelfunktion! Parablen sind quadratische Gleichungen und sehen anders aus.
Gruß Kubi
hoppala owT
…
Hallo Mone.
Und wenn man das jetzt einem einfach erklären soll der sich dann auch noch etwas darunter vorstellen kann, dann geht das z.B. so:
Wenn man eine Kugel betrachtet sieht die Projektion ihrer Oberfläche mit dem Inhalt r*r*Pi. Das ganze von hinten ergibt 2*r*r*Pi. Das wäre aber erst die Oberfläche einer ebenen runden Platte mit der Dicke gegen Null. Da die Kugel aber ein dreidimensionaler Körper ist betrachtet man sie auch noch von oben und unten, und erhält 4*r*r*Pi! Voila!
M.fr.Gr.
Alexander Berresheim
Wie einer meiner Dozenten immer treffend bemerkte, sind viele physikalische und mathematische Formeln sind invariant gegenüber falschen Herleitungen. (D.h. nur das Ergebnis stimmt zufälligerweise, nicht aber der Rechenweg der Herleitung.)
Die Ableitung ist ein ganz wundervolles Beispiel dafür. Die „Betrachtung“ von vorne, hinten, oben und unten ist völlig willkürlich. Würde man damit die Oberfläche eines Würfels der Seitenlänge s ermitteln, das Ergebnis wäre 4s² - und 6s² wäre richtig.
Die Herleitung ist daher weder anschaulich noch richtig, bestenfalls eine schlechte Eselbrücke.
Markus
Hallo Leute!
Gestern hat mich ein Freund gefragt, wie man die Oberläche
einer Kugel mittels Integral berechnen kann.
Dies geht über Parametrisierungen der Koordinaten. In der Differentialgeometrie, die für Ingenieure wichtig ist, lernt man dies. Man kann dies unterschiedlich ausführlich oder umständlich tun und mit verschiedenen Koordinatensystemen. Bei Verwendung von Polarkoordinaten ist eine Koorekturfaktor nötig gegenüber orthogonalen karthesischen Koordinaten. Am einfachsten dürfte die Berechnung dadurch gelingen, dass man den Umfang in Abhängigkeit von der Höhe darstellt und dann über die Höhe integriert.
Gerald Schneider