Es geht darum ob Operationen zwischen verschiedenen der drei hyperkomplexen Grundalgebren (komplex, hyperbolisch, dual) so sinnvoll zu interpretieren sind wie innerhalb der einzelnen Algebren.
Es wird unter anderem in diesem Wikipedia-Artikel immer wieder erwähnt, dass man komplexe, hyperbolische und duale Zahlen als 2x2 reelle Matrix darstellen kann:
http://en.wikipedia.org/wiki/2_%C3%97_2_real_matrices
Ich habe ein Programm geschrieben, dass nach der dort angegebenen Methode hyperkomplexe Zahlen der hyperkomplexen Grundalgebren (komplex, hyperbolisch, dual) in diese Matrizen umwandelt.
Innerhalb der einzelnen Algebren kann man jede beliebige Operation die im Reellen definiert ist berechnen und das macht auch Sinn. Aber wenn man eine komplexe Zahl mit einer hyperbolischen multipliziert oder summiert und zum Beispiel eine duale Zahl herauskommt (aber auch möglicherweise eine hyperbolische oder komplexe Zahl), dann stellt sich die Frage ob oder wie das Ergebnis zu interpretieren ist.
Zum Beispiel könnte man aus irgend einem Grund eine komplexe physikalische Größe (wie zusammengefasste Strom/Spannung oder zusammengefasster Widerstand/Impledanz) mit einer hyperbolischen Zahl multiplizieren (die man zum Beispiel für relativistische Quantenphysik verwendet) - das Ergebnis könnte aber in jeder der drei hyperkomplexen Ebenen liegen.
Außerdem ist die Multiplikation der M(2,R)-Matrizen zwischen verschiedenen Algebren nicht mehr assoziativ. Mir kommt es langsam vor, als ‚dürfte‘ man einfach keine Operationen zwischen diesen Matrizen vornehmen, wenn sie unterschiedliche hyperkomplexe Algebren repräsentieren. Während sich mit ihnen rechnen lässt wie mit den normalen hyperkomplexen Zahlen falls sie aus der gleichen hyperkomplexen Algebra kommen (also die Matrizen Zahlen in der selben hyperkomplexen Ebene repräsentieren).
Es ging mir nämlich darum dem nachzugehen, ob Operationen zwischen den verschiedenen Zahlen möglich sind, da sich ja jede dieser Zahlen als M(2,R)-Matrix ausdrücken lässt und sich untereinander rechnen lässt. Das legt eigentlich den Schluss nahe, dass das auch gehen würde wenn die eine Matrix eine Zahl aus der einen Ebene representieren würde und die andere Matrix aus einer anderen. Man kann ja jede beliebige M(2,R)-Matrix wieder einem bestimmten Punkt innerhalb einer der drei hyperkomplexen Ebenen zuordnen.