Hallo,
folgende Aufgabe: http://s14.directupload.net/images/120429/73jx22yc.png
Spontan wurde ich vermuten, dass ich die Einträge des Vektors a einfach
permutieren kann, das heißt, dass ich glaube, dass a zusammen mit
b = (1, 1, i)
c = (i, 1, 1)
eine orthogonale Basis bilden, was vermutlich falsch sein wird. Hilfe? 
Gruß.
Tach,
folgende Aufgabe:
http://s14.directupload.net/images/120429/73jx22yc.png
Spontan wurde ich vermuten, dass ich die Einträge des Vektors
a einfach
permutieren kann, das heißt, dass ich glaube, dass a zusammen
mit
b = (1, 1, i)
c = (i, 1, 1)
eine orthogonale Basis bilden, was vermutlich falsch sein
wird. Hilfe?
Ueberleg Dir Mal, wofuer in der Aufgabe das Skalarprodukt explizit angegeben ist.
Gruss
Paul
Hallo,
gute Frage, aber im Moment komme ich leider nicht darauf.
Irgendwie stehe ich gerade auf der Leitung, schwer sollte
die Aufgabe an sich nicht sein. Orthogonal bedeutet ja,
dass die Vektoren a, b und c linear unabhängig sein müssen,
d.h. wohl, dass ihr Skalarprodukt Null ergeben muss.
Tach,
gute Frage, aber im Moment komme ich leider nicht darauf.
Irgendwie stehe ich gerade auf der Leitung, schwer sollte
die Aufgabe an sich nicht sein. Orthogonal bedeutet ja,
dass die Vektoren a, b und c linear unabhängig sein müssen,
Nein, nicht nur lin. unabhaengig sondern eben orthogonal, das ist nicht das Gleiche.
d.h. wohl, dass ihr Skalarprodukt Null ergeben muss.
Ja.
Orthogonal = Skalarprodukt ist 0. Nachrechnen, ob’s bei Deiner „geratenen“ Loesung stimmt, wenn nicht, die Loesung aendern.
Hallo,
ja, sry, du hast recht. Ich habe jetzt nachgerechnet:
a = (1, i, 1)
b = (0, 1, i)
c = (i, 1, 0)
also Skalar-Produkt und = 0, aber leider
nicht = 0 
Hallo,
also Skalar-Produkt und = 0, aber leider nicht = 0
ganz schön frustrierend… 
Eine Möglichkeit: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren anwenden. Aber das wäre ein bisschen mit Kanonen auf Spatzen geschossen, und vielleicht „darfst“ Du diese Methode auch noch nicht kennen.
Alternativ: Den Vektor c einfach (c1, c2, c3) sein lassen und die Skalarprodukte a, c > und b, c > ausrechnen. Wenn Du danach hinter die beiden entstandenen Terme jeweils „= 0“ schreibst, hast Du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die drei Unbekannten c1, c2, c3. Eine davon wählst Du beliebig und dann sind die anderen beiden eindeutig bestimmt. Mit der Lösung eines LGS solltest Du kein Problem haben.
Gruß
Martin
Hallo,
und Danke! Für die Alternative also a = (1, i, 1), b = (0, 1, i) benutzen?
Habe das nun so gemacht, mit a = (1, i, 1), b = (0, 1, i).
Rausbekommen habe ich dann, nachdem ich c1 =: 1 definiert hab:
c = [1, (-1/(1-i)), (-i/(1-i))-1]
Kann das denn stimmen?
Für die Alternative also a = (1, i, 1), b = (0, 1, i) benutzen?
Ja, zum Beispiel. Du kannst jedes b nehmen, solange es orthogonal zu a ist. Falls Du die Frage nach der Herkunft von b nicht mit „habe ich geraten“ beantworten möchtest, kannst Du auch rechnen: Bestimme die zu a orthogonale Ebene und such Dir anschließend irgendein wohlgefälliges b daraus aus. Der Ansatz wäre analog: Skalarprodukt a, b > mit b = (b1, b2, b3) ausrechnen, Null setzen, das entstehende LGS lösen (wievivle Gleichungen und wieviele Unbekannte wird es haben?) und schauen, welche Beziehungen zwischen den b -Komponenten gelten.
Kann – oder auch nicht. Du wirst die Probe schon selbst machen müssen.
Oder wie wärs damit: Eine Deiner beiden Gleichungen lautet c2 – i c3 = 0. Da bietet sich doch stark an, c2 = i zu wählen. Dann ist c3 = 1 sofort klar und mit c1 schick ich Dich jetzt in die Nacht
Danke! Tut mir Leid, hatte Rechenfehler!
Ich habe nun also die Menge der Vektoren
a = (1, i, 1)
b = (0, 1, i)
c = (1, -i/2, -1/2)
als eine ortho. Basiss vom C³ erhalten.
Danke vielmals für Deinen Tipp, war gut!
Nun muss ich diese Vektoren normieren.
Hinweis: durch das obige Skalarprodukt
ist eine Norm |a| = sqrt() definiert.
Ich muss doch wohl nicht einfach die Wurzel
aus dem Skalar-Produkt ziehen und fertig?!
Ich habe nun also die Menge der Vektoren
a = (1, i, 1)
b = (0, 1, i)
c = (1, -i/2, -1/2)
als eine ortho. Basiss vom C³ erhalten.
c mit –2 zu multiplizieren wär noch ne Option, der Ästhetik wegen. Außerdem ist dann der Vergleich mit a interessant: a = (1, i, 1) und c = (–2, i, 1) unterscheiden sich nur in der ersten Komponente, sind aber trotzdem orthogonal.
…die Wurzel aus dem Skalar-Produkt ziehen und fertig?!
Doch, doch. Und jeden Vektor musst Du dann durch seine Norm dividieren. Diese Aufgabe ist halt eine der weniger anspruchsvollen.
Stimmt, sieht besser aus, vielen Dank!
Also ich verwende das Skalar-Produkt
aus der vorherigen Aufgabe, berechne
es bei jedem Vektor, nehme die Wurzel
davon und teile das Ergebnis durch den
Vektor, also 1/Ergebnis * Vektor, richtig?
Dann bekomme ich folgende Faktoren für:
1/sqrt(3) * a
1/sqrt(2) * b
1/sqrt(6) * c
?
