Wie ist die Orthogonalität zweier Geraden definiert?
a) Richtungsvektoren der Geraden sind orthogonal (Skalarprodukt ist null)
b) Geraden schneiden sich unter einem Winkel von 90°
Meiner Meinung nach besteht darin ein Unterschied. Der entscheidende Punkt für die Definition ist, ob zwei orthogonale Geraden in einer Ebene liegen müssen.
Wer kann mir weiterhelfen?
Hallo Dirk!
Wie ist die Orthogonalität zweier Geraden
definiert?
Jeder ist frei, sich den Begriff „Orthogonalitat“ so zu definieren, wie er will. Die Betonung liegt auf WILL, denn jetzt solltest du dich fragen, was du damit anfangen willst.
Arbeitest du nur in einer euklidischen Ebene, dann ist b) anschaulicher und voellig ausreichend. Wenn dich 3- oder noch-mehr-dimensionale Raeume interessieren, dann ist sicher a) vorzuziehen, ja der Begriff Orthogonalitaet nach Def. b) haette bei sich nicht schneidenden Geraden ueberhaupt keinen Sinn.
Ein Mathematiker wird in aller Regel auch die abstraktere Definition ueber das Skalarprodukt vorziehen. Sobald ein Skalarprodukt definiert ist, hat man automatisch die Orthogonalitaet festgelegt.
Das fantastische an dieser Definition ist die Möglichkeit, von Orthogonalitaet zu reden, wenn ueberhaupt keine Geraden im Spiel sind.
Beispiel: Betrachte den Raum der in [-pi,+pi] definierten und stetigen Funktionen. Definiere das Skalarprodukt zwischen zwei dieser Funktionen f und g als Integral von -pi bis +pi von f(x) * g(x) dx
Du kannst jetzt sagen, dass die Funktionen sin x und cos x orthogonal (bzgl. deines Skalarproduktes) sind. Ist doch toll, oder?
Bobok Semjon.
Ergänzung
Gesucht ist eine Definition der Orthogonalität im R A U M: Können zwei Geraden, die windschief sind, auch senkrecht zueinander sein???
Gesucht ist eine Definition der
Orthogonalität im R A U M: Können zwei
Geraden, die windschief sind, auch
senkrecht zueinander sein???
Wenn Du Dir die Def. des Skalarproduktes
zweier Vektoren (verschieden vom Nullvektor)
ansiehst, wirst Du feststellen, dass diese
einen Winkel von 90 Grad haben muessen.
Das gilt auch im Raum.
MEB
Hi
Deine Aussagen a) und b) sind äquvalent (das gilt auch im Raum).
Liegt einfach daran, daß sich zwei sich schneidende Geraden immer in einer Ebene liegen. Wenn sie sich nicht mal schneiden, gibts auch keinen Schnittwinkel und sie können nicht orthogonal sein. Es paßt also alles zusammen.
ciao
Sascha
Deine Aussagen a) und b) sind äquvalent
(das gilt auch im Raum).
Eben nicht! Die Richtungsvektoren zweier Geraden können auch orthogonal sein, ohne daß sich die Geraden schneiden.
z. B.: g(1):x=(0,0,0)+r*(0,0,1)
und g(2):x=(1,0,0)+s*(0,1,0)
Das Skalarprodukt von (0,0,1) und (0,1,0) ist null.
Liegt einfach daran, daß sich zwei sich
schneidende Geraden immer in einer Ebene
liegen. Wenn sie sich nicht mal
schneiden, gibts auch keinen
Schnittwinkel und sie können nicht
orthogonal sein.
Also bist Du der Meinung, daß sich zwei Geraden schneiden müssen, um senkrecht zueinander zu sein (nicht windschief)? Aha!
Hi
Du hast völlig recht.
Man solte halt immer den Grundsatz befolgen, erst zu denken und dann zu posten 
Für Orthogonalität ist man tatsächlich in höher-dimensionalen Räumen gezwungen, sowohl das Skalarprodukt auszurechenen als auch zu übverprüfen, ob es überhaupt einen Schnittpunkt gibt.
Also bist Du der Meinung, daß sich zwei
Geraden schneiden müssen, um senkrecht
zueinander zu sein (nicht windschief)?
Aha!
Ja genau, denn wenn man den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen will, die sich nicht schneiden (orthogonal hin oder her)bekommt man doch irgendiwe das Problem, wo man den Winkel jetzt einzuzeichnen hat.
Was man machen könnte wäre, die beiden Gerade in eine Ebene runter zu projezieren, ob man dadurch einen vernünftigen Winkel findet weiß ich nicht (ich glaub aber nicht).
ciao
Sascha
Ja genau, denn wenn man den Winkel
zwischen zwei Geraden bestimmen will, die
sich nicht schneiden (orthogonal hin oder
her)bekommt man doch irgendiwe das
Problem, wo man den Winkel jetzt
einzuzeichnen hat.
Was man machen könnte wäre, die beiden
Gerade in eine Ebene runter zu
projezieren, ob man dadurch einen
vernünftigen Winkel findet weiß ich nicht
(ich glaub aber nicht).
Doch! Mein Bronstein sagt dazu folgendes:
„Der Winkel zwischen windschiefen Geraden wird definiert als Winkel zwischen Geraden, die zu den windschiefen Geraden parallel sind und durch einen Punkt gehen“
Und dies ins IMHO der gleiche Winkel wie zwischen den Richtungsvektoren der Geraden.
Ciao
Journey
Nicht schlecht!
Mein Bronstein sagt dazu folgendes:
„Der Winkel zwischen windschiefen Geraden
wird definiert als Winkel zwischen
Geraden, die zu den windschiefen Geraden
parallel sind und durch einen Punkt
gehen“
Und dies ins IMHO der gleiche Winkel wie
zwischen den Richtungsvektoren der
Geraden.
Es ist nur eine Frage der Definition. Sicherlich wird der Bronstein eher anerkannt als meine Quelle …
Mal so gefragt: Wer legt eigentlich diese Definition fest; wie ist gewährleistet, daß sie weltweit allgemein anerkannt ist bzw. wie kann man sie herleiten?
(Die Orthogonalität kann man meiner Meinung nach eigentlich nicht herleiten; sie ist reine Definitionssache.)
Das fantastische an dieser Definition ist
die Möglichkeit, von Orthogonalitaet zu
reden, wenn ueberhaupt keine Geraden im
Spiel sind.Beispiel: Betrachte den Raum der in
[-pi,+pi] definierten und stetigen
Funktionen. Definiere das Skalarprodukt
zwischen zwei dieser Funktionen f und g
als Integral von -pi bis +pi von f(x) *
g(x) dx
Du kannst jetzt sagen, dass die
Funktionen sin x und cos x orthogonal
(bzgl. deines Skalarproduktes) sind. Ist
doch toll, oder?Bobok Semjon.
Ungebremsten Respekt! Ich liebe diese praezise Sprache der Mathematik, wie waere es mal mit einem Forum ohne Worte, international verstaendlich.
CK