Aus k Jungen und k Mädchen wird einmal(!) gezogen.
k/2k = 1/2. Die Sache ist ja, dass bei diesem Problem nur einmal gezogen wird. Dass schon ein Junge da ist, bedeutet nur, dass du bereits auf einem Pfad bist. Die WS, diesen Pfad zu betreten, ist 1. Die WS für den einen Split ist 1/2.
Grüße
Eric
Dass schon ein Junge da ist, bedeutet
nur, dass du bereits auf einem Pfad bist. Die WS, diesen Pfad
zu betreten, ist 1. Die WS für den einen Split ist 1/2.
Damit betrachtest Du alle Familien, die zuerst einen Jungen und danach noch ein weiteres Kind bekommen haben.
Was ist mit den Familien, die zuerst ein Mädchen und erst als zweites Kind einen Jungen bekommen haben?
___________________________
A = Menge aller Familien mit zwei Kindern
B = Menge aller Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eins ein Junge ist.
Stimmst Du zu, dass B eine Teilmenge von A ist?
Stimmst Du zu, dass es in „A ohne B“ keinen einzigen Jungen gibt?
Kann dann das Verhältnis „Familien mit genau einem Jungen“/„Familien mit zwei Jungen“ in B anders als in A sein?
Gruß,
KHK
Dass schon ein Junge da ist, bedeutet
nur, dass du bereits auf einem Pfad bist. Die WS, diesen Pfad
zu betreten, ist 1. Die WS für den einen Split ist 1/2.Damit betrachtest Du alle Familien, die zuerst einen Jungen
und danach noch ein weiteres Kind bekommen haben.
Was ist mit den Familien, die zuerst ein Mädchen und erst als
zweites Kind einen Jungen bekommen haben?
Deswegen splitte ich es ja auf in zwei Fallbetrachtungen. Im ersten Fall haben wir erst einen Jungen. p_1(J) = 1 p_2(J) = 1/2 p_2(M) = 1/2.
Im zweiten Fall stellt sich heraus p_2(J) = 1 p_2(J) = 1/2 p_2(M) = 1/2.
Da die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind ein Junge ist so hoch ist wie die, dass das zweite Kind ein Junge ist (q), gilt:
p_(J) = qp_1(J) + qp_2(J) = q(p_1(J) + p_2(J)) = 1/2.
__________________________
A = Menge aller Familien mit zwei Kindern
B = Menge aller Familien mit zwei Kindern, von denen
mindestens eins ein Junge ist.Stimmst Du zu, dass B eine Teilmenge von A ist?
Stimmst Du zu, dass es in „A ohne B“ keinen einzigen Jungen
gibt?Kann dann das Verhältnis „Familien mit genau einem
Jungen“/„Familien mit zwei Jungen“ in B anders als in A sein?
Nein, das kann es nicht, weil das immer noch zwei Teilmengen sind. Du formulierst aber ein Problem mit zweimaligem Ziehen (wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich zweimal ziehe). Das Problem ist aber, dass du schonmal gezogen hast, also nur noch einmal ziehen musst. Du kannst also deine Betrachtung insofern aufrecht erhalten, als dass:
Der Baum p_1(M) = 1/2 wegfällt, komplett. Dadurch wird p_1(J) = 1. Du kannst aber die Information, dass es einen Jungen schon gibt, nicht dadurch annulieren, dass du einfach so tust, als wärst du in deinem Wahrscheinlichkeitsast mit allen 4 Kombinationen und davon fällt halt eine aus. Das entspräche der a priori Situation. A priori ist es doppelt so wahrscheinlich, Junge-Mädchen rauszukriegen als Junge-Junge. Aber wir wissen etwas darüber.
Anderes Beispiel: Du würfelst 100mal hintereinander Kopf, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf Kopf zu würfeln? Antwort: 50%.
Wenn du das Ereignis als Ganzes prognostizieren wolltest, wäre die a priori Wahrscheinlichkeit, an diesem Punkt zu landen (1/2)^101. Da du aber schon an diesem Knoten stehst ist die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, was als nächstes passiert? Alle anderen Wahrscheinlichkeiten, dahinzukommen, sind auf 1 resolved, da du nunmal da stehst.
Darin sehe ich den Unterschied.
Gruß,
KHK
Grüße
Eric
Meine Güte…
Also…
Aussage: Eine Familie mit zwei Kindern hat mindestens einen Sohn.
Folgende Kombinationen seien gleich wahrscheinlich:
a) MM - 25%
b) MJ - 25%
c) JM - 25%
d) JJ - 25%
Jetzt sei gesagt, dass Möglichkeit a) nicht zutrifft.
Es bleiben also noch drei gleichwahrscheinliche Möglichkeiten:
b) MJ - 1/3
c) JM - 1/3
d) JJ - 1/3
Darauf könnte man eigentlich auch gleich kommen, aber naja…
Die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Familie einen weiteren Sohn?
Da bleibt nur d) übrig, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3.
Nicht zu verwechseln mit:
In einer Familie wird ein Sohn geboren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird auch das zweite Kind ein Sohn?
mfg,
Ché Netzer
Deswegen splitte ich es ja auf in zwei Fallbetrachtungen. Im
ersten Fall haben wir erst einen Jungen. p_1(J) = 1 p_2(J) =
1/2 p_2(M) = 1/2.Im zweiten Fall stellt sich heraus p_2(J) = 1 p_2(J) = 1/2
p_2(M) = 1/2.
Ich vermute mal, dass Du
p_2(J) = 1 p_ 1 (J) = 1/2 p_ 1 (M) = 1/2
meinst?
Diese beiden Fälle sind nicht disjunkt. p_1(J) und p_2(J) sind in beiden Fällen enthalten.
Fall 1
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
| |
| 50% 50% |
| |
M-J J-J J-M
| |
| 50% 50% |
|\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_|
Fall 2
Und wieder sind wir bei 1/3 zu 2/3 
Gruß,
KHK
Pfff, so viele Postings wegen ‚Kinderkram‘
Hossa
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage
zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist
ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“.
Wo ist denn das Problem? Das ist doch einfachste Kombinatorik. Die 4 möglichen Kombinationen an Kindern sind:
JJ, JM, MJ und MM
Da bekannt ist, dass der Mann einen Sohn hat, scheidet die Kombination MM aus. Übrig bleiben die Kombinationen:
JJ, JM, MJ
Und siehe da, der Fall JJ tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 auf.
Dann modifiziert man die Frage: „Ein Mann hat zwei
Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag
gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für
einen Sohn dadurch.
Nein, das kann nicht sein. Ich kann Dienstag durch jeden anderen Wochentag ersetzen ohne das Problem zu verändern. In der ersten Fragestellung ist der erste Sohn auch an irgendeinem Wochentag geboren worden. Daher sind beide Problem gleich.
Beim Ziegenproblem erfolgt eine Neuauswahl, diese erfolgt hier nicht. Daher kann ich auch keine Gemeinsamkeit mit dem Ziegenproblem erkennen. Vielleicht bin ich ja einfach nur zu blind. Dann verpasst mir bitte eine passende Brille
Viele Grüße
Hasenfuß
Ziegenproblem ist sehr simpel !!!
Hossa
Auch das Ziegenproblem ist nicht paradox, sondern erschreckend einfach:
Bei seiner ersten Auswahl trifft der Kandidat mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 eine Niete und mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 den Gewinn.
Der Moderator entfernt eine Niete. Es gibt also nur noch eine Niete und den Gewinn.
Wenn der Kandidat seine Auswahl ändert und auf einer Niete steht (die Wahrscheinlichkeit dafür war ja 2/3), wechselt er nun mit Sicherheit auf den Gewinn. Also ist die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechsel gleich 2/3.
Wenn der Kandidat seine Auswahl ändert und auf dem Gewinn steht (die Wahrscheinlichkeit dafür war ja 1/3), wechselt er mit Sicherheit auf die Niete. Also ist beim Wechsel der Auswahl die Wahrscheinlichkeit für eine Niete nur noch gleich 1/3.
Wenn der Kandidat nicht wechselt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn ungeändert bei 1/3.
Viele Grüße
Hasenfuß
Dann modifiziert man die Frage: „Ein Mann hat zwei
Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag
gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für
einen Sohn dadurch.Nein, das kann nicht sein. Ich kann Dienstag durch jeden
anderen Wochentag ersetzen ohne das Problem zu verändern. In
der ersten Fragestellung ist der erste Sohn auch an
irgendeinem Wochentag geboren worden. Daher sind beide Problem
gleich.
Ich schätze, das liegt an irgendeiner dubiosen Statistik über die Geburtenrate, an „häufigeren Geburtstagen“ und ähnlichem Kram…
Vergleiche:
En beliebiger Mensch wird ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ein Mann?
Dabei gehen wir jetzt einfach mal von 50% aus.
Wenn der Mensch an einem Dienstag geboren worden sein soll, ruft man irgendeinen Statistiker mit zu viel Freizeit und der sagt einem, dass von den 1.000.000.000 Menschen, die an einem Dienstag geboren wurden, nur 49,3% Frauen sind.
So kann dann die Wahrscheinlichkeit steigen.
Ansonsten bezieht man sich einfach auf die Chaostheorie und hat immer eine Wahrscheinlichkeit von genau 1 oder genau 0…
mfg,
Ché Netzer
Halali
Wo ist denn das Problem? Das ist doch einfachste Kombinatorik.
Das einfachste ist oft am schwersten. Such’ mal die Threads zum Ziegenproblem im Archiv …
Dann modifiziert man die Frage: „Ein Mann hat zwei
Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag
gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für
einen Sohn dadurch.Nein, das kann nicht sein. Ich kann Dienstag durch jeden
anderen Wochentag ersetzen ohne das Problem zu verändern. In
der ersten Fragestellung ist der erste Sohn auch an
irgendeinem Wochentag geboren worden. Daher sind beide Problem
gleich.
Es gibt 196 statt 4 Kombinationen. Es fallen neben den 25% MM-Paaren auch einige Paarungen mit J weg, wenn nämlich die Kombination J-Di nicht dabei ist. Dadurch verschiebt sich das Ergebnis näher zu 50:50
Gruß,
KHK
BTW: müßtest Du Dich nicht in ‚Althase‘ umbenennen?
Hi,
Wo ist denn das Problem? Das ist doch einfachste Kombinatorik.
Die 4 möglichen Kombinationen an Kindern sind:
für eine etwas ausgefeiltere Antwort siehe „Dicing with death“ von Stephen Senn, Seite 4
http://www.amazon.com/Dicing-Death-Chance-Risk-Healt…
Grüße,
JPL
Hm…
Da fällt mir irgendwie der Witz mit dem Mathematiker ein, der eine Bombe mit ins Flugzeug nimmt, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bombe an Bord ist, immer gleich ist…
mfg,
Ché Netzer
Nix da mit verrückten Statistiken. 50 % sind Männer und man geht auch davon aus, dass die Geburten über alle Wochentage gleich verteilt sind. Und trotzdem kommt nicht mehr 1/3 heraus.
MfG IGnow
Hi
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage
zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist
ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Hier ist noch relativ einfach herauszufinden, dass
es 1/3 ist. Dann modifiziert man die Frage: „Ein Mann hat zwei
Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag
gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für
einen Sohn dadurch. Die genaue Zahl hab ich nicht im Kopf. Das
ganze ist so eine Art neue Version des Ziegen-problems.
Hallo, damit der antwortsuchende Leser nicht den ganzen Baum lesen muss: Die richtige Antwort ist, dass die WS dafür, dass das zweite Kind ein Sohn ist, 1/2 beträgt. Genaue Begründungen siehe Baum.
Grüße
Eric
‚Kinderkram‘ Dienstag-Junge, Fehler gefunden
Hossa
Bei den Wahrscheinlichkeitsaufgaben kommt einem manchmal alles völlig klar vor und man neigt dann dazu, sehr schnell zu antworten ohne das Problem wirklich genau zu durchdenken. Das ist mir oben beim Dienstags-Jungen auch passiert! Um die Diskussion auf eine tragfähige Basis zu bringen, schaffe ich mal eine mathematische Diskussionsgrundlage…
Beim ersten Teil der Aufgabe sind wir uns ja alle einig, dass die Wahrscheinlichkeit 1/3 beträgt.
Der zweite Fall, bei dem der Mann einen Jungen hat, der an einem Dienstag geboren wurde, ist nun insofern interessant, weil dadurch die Jungs unterscheidbar werden. Der erste Sohn kann an einem Dienstag geboren worden sein oder der zweite Sohn. Nur im Fall, dass beide Söhne an einem Dienstag geboren wurden, sind sie nicht unterscheidbar. die Anzahl der Junge-Junge-Kombinationen wird daher fast verdoppelt.
Unter der Annahme, dass der Mann einen Jungen hat, der an einem Dienstag geboren wurde, gibt es folgende mögliche Kind-Kombinationen:
J-Di M-Mo | J-Di M-Di | J-Di M-Mi | J-Di M-Do | J-Di M-Fr | J-Di M-Sa | J-Di M-So = 7 JM
M-Mo J-Di | M-Di J-Di | M-Mi J-Di | M-Do J-Di | M-Fr J-Di | M-Sa J-Di | M-So J-Di = 7 MJ
J-Di J-Mo | J-Di J-Mi | J-Di J-Do | J-Di J-Fr | J-Di J-Sa | J-Di J-So = 6 JJ
J-Mo J-Di | J-Mi J-Di | J-Do J-Di | J-Fr J-Di | J-Sa J-Di | J-So J-Di = 6 JJ
J-Di J-Di = 1 JJ
Es gibt also insgesamt 27 mögliche Kindkombinationen, von denen in 13 Fällen beide Kinder Jungs sind. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Jungs steigt also von 1/3 auf 13/27.
Viele Grüße
Hasenfuß
Nicht ganz 1/2
Hossa
Nee, nicht ganz 1/2, sondern 13/27… (s. mein Posting weiter unten)
Viele Grüße
Hasenfuß
Ich habe jetzt ein neues Thema geöffnet, um diese Sache zu klären.
Grüße
Eric
Ugh.
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage
zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist
ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Hier ist noch relativ einfach herauszufinden, dass
es 1/3 ist.
Was ich zu bezwei- bis dreifeln wage. Der erste Ableger ist ein Sohn. Da gibt es keine Wahrscheinlichkeit, sondern Gewissheit. Es handelt sich also nur beim zweiten Teil der Geschichte um etwas Stochastisches; und da liegt die Wahrscheinlichkeit naturbedingt bei ungefähr 50%.
Aga,
CBB
Und wieder haben wir den selben Fehler wiederholt.
Jetzt nervt’s
Glaub es oder lass es bleiben.
EOD
Hossa
Was ich zu bezwei- bis dreifeln wage. Der erste Ableger ist
ein Sohn. Da gibt es keine Wahrscheinlichkeit, sondern
Gewissheit. Es handelt sich also nur beim zweiten Teil der
Geschichte um etwas Stochastisches; und da liegt die
Wahrscheinlichkeit naturbedingt bei ungefähr 50%.
Das zweite Kind ist aber auch schon da. Daher gibt es in deinem Sinne auch beim zweiten Kind keine Wahrscheinlichkeit. Das Zufallsexperiment, also das Kriegen der beiden Kinder, wurde bereits in der Vergangenheit abgeschlossen. Beim Kriegen von zwei Kindern gibt es 4 mögliche Ausgänge des Zufallsexperimentes: MM, JM, MJ und JJ. Da wir aber sicher wissen, dass der Vater mindestens einen Sohn hat, scheidet der erste Fall aus. Wir wissen, dass der Ereignisraum des Zufallsexperimentes nur noch aus 3 Möglichkeiten besteht: JM, MJ und JJ. Und bei genau einer dieser Möglichkeiten ist die Forderung nach 2 Jungs erfüllt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 2 Jungs genau 1/3.
Viele Grüße
Hasenfuß