Parametrisiertes Gleichungssystem

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

kann bitte vielleicht jemand überprüfen, ob ich die Aufgabe richtig habe? Dann bräuchte ich noch einen Tipp, wie ich Aufgabe 2 lösen könnte.

Also folgendes:

gegeben ist:

a*x1 + b*x2 = 0
c*x1 + d*x2 = 0

wobei a,b,c,d € R

  1. Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem mehrere Lösungen hat, wenn gilt a*d-b*c=0

Ich habe das jetzt so gemacht.

Gl.1) x1 = (-b*x2) / a in Gl.2)

(c*(-b)*x2) / a + d*x2 = 0

c*(-b)*x2 + d * x2 * a = 0

x2 * (a*d-b*c) = 0 -> der Ausdruck in der Klammer ist null, und somit kann x2 jeden Wert annehmen, also mehrere Lösungen. Stimmt das?

  1. Zeigen Sie, dass die Gleichungen genau dann Vielfache voneinander sind, wenn gilt
    a*d-b*c = 0.

Da bin ich noch am rumprobieren, hat jemand einen Tipp?

Vielen Dank

#2

Hallo,

x2 * (a*d-b*c) = 0 -> der Ausdruck in der Klammer ist null,
und somit kann x2 jeden Wert annehmen, also mehrere Lösungen.
Stimmt das?

Ja.

  1. Zeigen Sie, dass die Gleichungen genau dann Vielfache
    voneinander sind, wenn gilt
    a*d-b*c = 0.

Die Gleichungen sind Vielfache voneinander, wenn c = ka und d = kb ist, mit demselben Faktor k. Andererseits ist c immer das c/a-Fache von a, und d immer das d/b-Fache von b. Damit nun die Aussagen beider Sätze simultan zutreffen, muss… den Rest überlasse ich Dir.

Gruß
Martin

#3

Also ich weiß jetzt nicht genau, ob ich das verstanden habe, habe hier mal folgendes gerechnet.

a*x1 + b*x2 = 0
c*x1 + d*x2 = 0

Vielfache, wenn gilt c=k*a und d=k*b (1)
und c=c/a und d=d/b (2)

dann habe ich die zweite gleichung genommen und die Bedingungen für das Vielfache eingesetzt.

zuerst die (2)

(c/a)*x1 + (d/b)*x2 = 0

dann die (1)

((a*k)/(a))*x1 + ((b*k)/(b))*x2 = 0

wenn ich rauskürze kommt halt dann raus k*x1 + k*x2 = 0

nur habe ich da jetzt das a*d-b*c=0 gar nicht mit einbezogen?

Folglich ist vermutlich auch meine Rechnung falsch?

Danke für die Hilfe

#4

Hallo,

Vielfache, wenn gilt c=k*a und d=k*b (1)
und c=c/a und d=d/b (2)

nee, „c ist das c/a-Fache von a“ bedeutet doch c = \frac{c}{a}:a.

Mittlerweile sehe ich aber, dass man das auch ganz simpel runterrechnen kann, und sowas gefällt mir als Lösung immer am besten (ist aber sicher Geschmacksache):

Gleichungen sind Vielfache voneinander
⇔ ax + by = k (cx + dy)  für alle x, y
⇔ ax + by = kcx + kdy  für alle x, y

Die Gültigkeit für alle x, y erlaubt Koeffizientenvergleich (ein ganz wesentlicher Punkt an dieser Stelle):

⇔ a = kc  und  b = kd
⇔ a/c = k  und  b/d = k
⇔ a/c = b/d
⇔ ad = bc

Schönen Sonntag
Martin

#5

Sehr gute Antwort, hab’s verstanden. Vielen Dank für die Hilfe.