Hallo,
ich will/muss die Parseval’sche Gleichung beweisen, welche lautet:
\int_{-\infty}^{\infty} dx |f(x)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} dk |\widetilde{f}(k)|^2
\widetilde{f}(k) bezeichnet hierbei die Fourier-Transformierte von f(x) .
Die rechte Seite lautet, für \widetilde{f}(k) die Formel für die TF von f(x) eingesetzt:
\int_{-\infty}^{\infty} dk |\widetilde{f}(k)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} dk |\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) e^{-ikx}|^2
Anschließend habe ich es etwas vereinfacht und weiter betrachtet:
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dk \int_{-\infty}^{\infty} dx |f(x)|^2 |e^{-2ikx}|
Ich hoffe, dass der nächste schritt richtig ist:
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dx |f(x)|^2 \int_{-\infty}^{\infty} dk |e^{-2ikx}|
Da ich weiß, wie das Ergebnis lauten muss, nämlich:
\int_{-\infty}^{\infty} dx |f(x)|^2
müsste das letzte Integral eigentlich genau das Inverse der Konstante geben:
\int_{-\infty}^{\infty} dk |e^{-2ikx}| = \sqrt{2\pi}
Ist denn die letzte Gleichung richtig? Wenn nicht, wo liegt also mein Fehler?
Gruß.