Partialbruchzerlegung, durch 0 dividieren

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo miteinander, bei der Partialbruchzerlegung stellt man eine Reihe von Brüchen auf, mit den Nullstellen des Nenner-Polynoms in den Nennern in der Parameterform und Unbekannten im Zähler.
Eine Lösungsmöglichkeit besteht darin die Nullstellen des Nenner-Polynoms einzusetzen und mit den verschiedenen Gleichungen Koeffizienten vergleich durchzuführen.
Per Definition ist das Nenner-Polynom an dieser Stelle aber Null.
Wird deshalb durch 0 dividiert und warum funktioniert es wenn es der Fall ist?

Mit besten Grüßen
Philipp

#2

Hallo Philipp.

Eine Lösungsmöglichkeit besteht darin die Nullstellen des
Nenner-Polynoms einzusetzen und mit den verschiedenen
Gleichungen Koeffizienten vergleich durchzuführen.

Bevor man die Nullstellen einsetzt, multipliziert man die Gleichung mit dem Nennerpolynom. Auf der linken Seite hebt sich der Nenner somit einfach fort. Auf der rechten Seite bleiben einzelne Faktoren stehen, weil jeder einzelne Summand ja nur einen Linearfaktor des Nenners enthält.

Jetzt erst setzt man die Nullstellen ein. Auf der linken Seite passiert nichts, weil man den Nenner ja gerade weggekürzt hat. Auf der rechten Seite heben sich alle Summanden fort, die den entsprechenden Linearfaktor im Zähler haben. Somit entsteht eine meist sehr einfache Gleichung, der man im Idealfall schnell einen noch unbestimmten Koeffizienten ansehen kann.

Liebe Grüße,

The Nameless

#3

Statt

mit dem gesamten Nenner zu multiplizieren, kann man auch einfach nur mit dem Linearfaktor zur Nullstelle multiplizieren. Der Rest der Rechnung ist effektiv derselbe, man erspart sich nur die abschließende Division.

Gruß, Lutz