Definierre einmal, was du unter „einziehen“ verstehst. Dauerhafter Umzug unter Aufgabe der bisherigen Wohnung? Oder Zahnbürste mitbringen oder etwas dazwischen?
Für wen günstiger? (Sowohl rechtlich als auch finanziell, wobei letzteres mir gar nicht einleuchtet)?
Und was heißt „Partner“ aus deiner Sicht?
Es gibt auch noch eine weitere Ebene, den Vermieter.
Handelt es sich um den eingetragenen Lebenspartner oder Ehepartner, ist keine Erlaubnis erforderlich. Der Vermieter muss zwecks Anpassung der Nebenkosten informiert werden. Bei anderen Partnerschaften muss um Erlaubnis gefragt werden, es darf aber nur in Ausnahmefällen verweigert werden.
Auf Änderung des Mietvertrages, wie bei einer WG bzw. Aufnahme in den Vertrag hat man keinen Anspruch. Das will aber aus Sicht des bisherigen Mieters auch überlegt sein. Zwar schulden dann beide die Miete, aber es bedarf dann auch beider, zu kündigen! Das ermöglicht die Konstellation im worst case: Trennung, du willst die Ruh und ziehst aus. Er verweigert die Kündigung. Lässt die Neue einziehen und wenn er dann keine Miete zahlt, kann sich der Vermieter an dir schadlos halten.