Hi,
habe schon paar mal gelesen das pi=180° bzw. pi/2 = 90° ist, habe jedoch nie die Herleitung dazu gefunden also wieso pi=180° sein soll.
Kann mir das hier evtl. jemand erklären?
im einheitskreis, welcher den umfang 2pi hat, ist das bogenmass x=pi
und phi=180°
ahh okay danke^^
Hi,
habe schon paar mal gelesen das pi=180° bzw. pi/2 = 90° ist,
habe jedoch nie die Herleitung dazu gefunden also wieso
pi=180° sein soll.
Hallo,
Gradmaß und Bogenmaß sind zwei verschiedene Arten einen Winkel anzugeben, einmal als Mittelpunktswinkel und einmal als Bogenlänge. Jedem Mittelpunktswinkel entspricht eine Bogenlänge die du auf der Kreislinie des Einheitskreises entlang gehen musst, damit der Radius eben diesen Mittelpunktswinkel überstreicht. Wenn du den Einheitskreis genau einmal durchläufst, erhälst du einen Mittelpunktswinkel von 360° und eine Bogenlänge von 2π, das ist nämlich der Umfang des Einheitskreises. Daraus ergibt sich für 180° ein Bogenmaß von π und für 90° ein Bogenmaß von π/2.
Gruß
hendrik
Hallo Mosalol!
Wie jetzt, gibst Du Dich tatsächlich mit Moggemorles knapper Antwort zufrieden? Die erklärt nämlich leider gar nichts, sondern konstatiert einfach: „Man guckt sich halt den Einheitskreis an.“ Aber warum?
Und jetzt antworte ich Dir: Man guckt sich gar nicht den Einheitskreis an, sondern alle Kreise.
Es ist nämlich folgendermaßen: Einen Winkel stellt man sich am einfachsten als Drehung vor: Ich stell mich irgendwo hin und drehe mich z.B. um 45 Grad nach links. Man zeichnet Winkel ja auch als Kreisbögen (ich meine, wenn Du einen Winkel einzeichnest, machst Du doch so einen kleinen Bogen da hin). Und nun stellt sich die Frage, wie ich die Größe der Drehung beschreibe.
Eine Variante ist zu sagen: Ich betrachte die Drehung, bei der ich mich einmal um meine eigene Achse gedreht habe, und teile diese in gleich große Abschnitte ein. Die Alten Griechen (oder wahrscheinlich die Mesopotamier, recherchiere selbst!) haben ihren Vollwinkel (die ganze Drehung) in 360 Schritte eingeteilt. Warum?
Im Altertum hat man gern Zahlen gewählt, die sich möglichst gut durch andere Zahlen teilen lassen. Wenn man die ganze Drehung in 360 Schritte einteilt, hat 1/2 Drehung 180 Schritte, 1/3 Drehung 120 Schritte, 1/4 Drehung 90 Schritte, 1/5 Drehung 72 Schritte, 1/9 Drehung 40 Schritte u.s.w. Hättest Du jetzt die ganze Drehung in, sagen wir, hundert Schritte geteilt, dann hättest Du 1/3 Drehung mit 33,33333… schritten. Blöd. Deshalb 360.
(Man hat dann auch die einzelnen Schritte noch einmal ge-60-telt, weil 60 die kleinste Zahl ist, die man durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilen kann.)
Dieses System nennt sich „Grad“ oder auch „Altgrad“.
Später hat man dann angefangen, im Zehnersystem zu rechnen. Wir sind z.B. gewohnt, dass 1/2=0.5 ist, 1/5=0.2 und so weiter. Weil man damit im Alltag zu tun hatte, erfand man in der Neuzeit ein System, dass den rechten Winkel (also nicht die Drehung „einmal rum“, sondern die Drehung „links um“) in 100 gleiche Schritte aufteilt. In der Berufsgruppe, die am meisten mit Winkeln zu tun hatte – das waren die Landvermesser – setzte sich dieses System durch, und jetzt ist es auch auf den Taschenrechnern zu finden (mit der Abkürzung „GRA“, zur Verwirrung aller Schüler, die dort „Grad“ erwarten). Diese Einteilung nennt sich „Gon“ oder „Neugrad“.
Du erkennst jetzt bestimmt, dass alle diese Einteilungen sehr willkürlich sind. Also suchten die Mathematiker nach einer natürlichen Einteilung – und wurden fündig: Sie nutzten zur Beschreibung von Winkeln einfach Krisbögen!
Nun weißt Du, dass der Umfang eines Kreises immer das 2π-fache vom Radius ist. Die Länge eines Halbkreises ist also das π-fache vom Radius, und die Länge eines Viertelkreises das (π/2)-fache vom Radius. Es ist natürlich doof, dass diese Länge noch vom Radius abhängt, also teilte man einfach durch den Radius, dann isser weg. Für jeden Viertelkreis ist also Bogenlänge/Radius=π/2.
Man beschreibt also den rechten Winkel durch einen Kreisbogen, der ein Viertel des Gesamtkreises ausmacht, und für diesen Bogen ist Länge/Kreisradius=π/2. Dieses System nennt sich Bogenmaß.
Also hat man (Rechter Winkel)=90° (Altgrad)=100g (Neugrad)=π/2 (Bogenmaß).
Liebe Grüße
Immo
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Hallo,
habe schon paar mal gelesen das pi=180° bzw. pi/2 = 90° ist,
habe jedoch nie die Herleitung dazu gefunden also wieso
pi=180° sein soll.
Du wirst auch nie eine Herleitung dafür finden, weil π = 180° eine Definition ist, nämlich die des Symbols „°“:
π = 180° ⇔ 1° = π/180 = 2 π/360 = der 360-te Teil einer vollen Umdrehung.
Dabei wurde mit „2 π = eine volle Umdrehung“ verwendet, dass ein Kreis mit dem Radius 1 die Umfangslänge 2 π ≈ 6.28… hat. Das allerdings ist keine Definition, sondern eine beweisbare Tatsache
. Vollwinkel = 2 π ist also naturgegeben, aber ° ist menschengemacht.
Gruß
Martin
Z. B. mit Google Earth: Um die Siegessäule in Berlin führt ein genau kreisförmiger Fußweg. Miss mit dem Entfernungstool (Einheit Meter) seinen Radius und seinen Umfang. Für die gekrümmte Umfangslinie ist die Einstellung „Pfad“ geeignet: irgendwo anfangen und in vielen kleinen geraden Teilstücken abklicken, bis Du einmal rum bist. Wenn Du am Schluss den Quotienten Umfang/Radius beider Messwerte mit dem Taschenrechner bildest, bekommst Du einen Näherungswert für 2 π heraus.
Tolle Erklärung und didaktisch einwandfrei und somit gut nachvollziehbar!
Gruß Wolfgang