Pi = 4? WTF?!?!

[Zwergenbrot]

Man nennt das wohl Dunning-Kruger-Effekt, was hier abgeht. Die Frage ist wohl nur, wer hier wer ist.

Mal abgesehen davon, dass der Kreis nicht durch Punkte,
sondern einen Streckenzug angenähert wird, steht immer noch
die Frage: Wo soll hier die andere Metrik herkommen?

Es ist eben kein stetiger Streckenzug sondern eine Verbindung
von Raterpunkten, so wie es dargestellt wurde.

Es ist der EUKLIDISCHE Kreis (sieh unten) der mit Strecken
angenähert wird, deren Länge bzgl. Der EUKLIDISCHEN Metrik
angegeben wird.
Dass die Strecken zufällig senkrecht und waagerecht verlaufen führt nicht zu einer :neuen Metrik.
Wie soll denn eine Kurve eine Metrik induzieren. Das ist

;totaler Quatsch!

Ganz genau. Totaler Quatsch. Eine Kurve induziert keine Metrik.

Was geht nicht? Ich bin mir sicher, dass keiner von uns beiden
weiß, was Du hier sagen willst.

Man kann das Raster beliebig verfeinern und kommt immer auf
den Wert 4 für das Verhältnis von Radius und Umfang

Nein, man kann das Raster beliebig verfeinern und kommt immer auf den Wert 4 für die Länge des stetigen Streckenzuges. Daraus wird auf dem Bild fälschlich geschlussfolgert, dass der Umfang des Kreises 4 sei und damit Pi=4.

Nein. Der Kreis mit Radius R um Punkt P ist die Menge aller
Punkte, die von P den Abstand R haben. Es gibt also in jeder
Metrik Kreise.

Nein, und die Punkte durch die der Kreis angenähert wird haben
ausser 4 immer einen anderen Abstand als r vom Mittelpunkt.

Nochmal:
!!Definition!! Unter einem „Kreis mit Radius R um den Punkt P“ versteht man die Menge aller Punkte, die von P den Abstand R haben.

Ich kann in jeder Metrik von „Kreisen“ sprechen. Diese sehen i.A. nicht so aus, wie die runden Kreise, die wir in der Schule malen, zumindest nicht in einer eventuell naheliegenden Darstellung. Es ist eine Abstraktion des Wortes „Kreis“. Ich behaupte nicht, dass die im Bild angegebenen, stetigen Streckenzüge ein Kreis seien.

In Manhatten-Metrik sind die Kreise stets Quadrate. Der
Einheitskreis (Radius 1 um Punkt (0,0)) ist ein Quadrat mit
den Eckpunkten (1,0), (0,1), (-1,0), (-0,1).
Zum Vergleich: Bei der Metrik, die von der Maximumsnorm
induziert wird, ist der Einheitskreis (Radius 1 um (0,0)) ein
Quadrat mit den Eckpunkten (-1,1), (1,1), (-1,-1), (1,-1).

Schon, aber es ist ja bewiesen, dass der Kreis kein Quadrat
ist.

Das ist doch jetzt wieder eine freie Assoziation von einer vollkommen anderen Problematik. Du beziehst Dich vermutlich auf die „Quadratur des Kreises“ die besagt, dass es in der EUKLIDISCHEN GEOMETRIE nicht möglich ist nur mit Zirkel und Lineal zu einem gegeben Kreis ein Quadrat zu konstruieren, welches denselben Flächeninhalt hat.
Das hat überhaupt nichts damit zu tun, dass der Einheitskreis bzgl. der Manhatten-Metrik dargestellt in der euklidischen Ebene ein Quadrat ist.

Wenn man den Raum zwischen den Punkten nicht betrachten kann,
weil er bei dieser Art der Annäherung durch ein Raster
praktisch nicht existiert, kommt man natürlich zu einem
anderen Ergebnis, das sich auch durch beliebige Verfeinerung
nicht weiter annähert. Das Problem ist, dass der Kurvenzug an
den Rasterpunkten eben nicht stetig ist.

Ich habe keine Ahnung, warum hier ein Teil des Raumes nicht existieren soll, ABER der Kurvenzug ist mal sowas von STETIG! Hallo? Wo soll der denn unstetig sein?

Das ist keine Erklärung, sondern eine freie Assoziation zu
irgendeinem Bild was Du mal in Zusammenhang mit dem Wort
„Manhatten-Metrik“ gesehen hast.

Nö, das ist genau das, was in dem Beispiel auftritt.

Eine Metrik d auf dem \mathbb{R}^2 ist eine Funktion d: \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^{\geq 0} sodass für alle x,y,z \in\mathbb{R}^2 die folgenden drei Eigenschaften gelten:

1. d(x,y)=0 \iff x=y
2. d(x,y) = d(y,x)
3. d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)

Für die Euklidische Metrik wird diese Funktion durch die Zuordnung
d( (a,b) , (c,d) ) = \sqrt{|a-c|^2+|b-d|^2} gegeben.
Diese Abstandsfunktion wird genutzt, um in dem Bild den „Kreis“ zu zeichnen. Und diese Abstandsfunktion wird genutzt, um die Länge der jeweiligen Kurvenzüge (immer 4) zu berechnen.
Und da der Umfang des Kreises, als Länge einer speziellen Kurve auch von der Metrik abhängt, wird diese Abstandsfunktion auch genutzt, um den Umfang des Kreises zu bestimmen. Das Ergebnis ist \pi.
Es wird der Fehlschluss angegeben, dass die beiden Längen identisch seien. Und der Fragesteller wundert sich, dass dem nicht so ist, wo sich doch die eine Kurve immer mehr der anderen anzunähern scheint.

Jetzt kommst Du und behauptest aus heiterem Himmel, dass man hier eine andere Abstandsfunktion, gegeben durch die Zuordnung
d( (a,b) , (c,d) ) = |a-c|+|b-d|
ins Spiel bringen müsste und dann wäre alles gut.
Daher nun meine Fragen:
Welche Längen sollen mit dieser Abstandsfunktion berechnet werden?
Welche Aussagen erhält man dann?
Könntest Du in einer vernünftigen Rechnung darlegen, wie sich unter Verwendung dieser Abstandsfunktion dann wo eine Gleichheit ergibt, die den scheinbaren Widerspruch klärt?
Vielleicht so ausführlich, dass auch so Leute wie ich - die manchmal mathematisch etwas auf dem Schlauch stehen - dem folgen können?

Beste Grüße
Zwergenbrot

[Torsten]

Hallo Zwergenbrot,

zuerst mal vorausgeschickt, du hattest Recht, die Kurve, die durch die Geradenstücke angenähert wird ist natürlich stetig, nicht aber die Ableitung an den Punkten.

Nun zu den Abstandsfunktionen und Kurvenlängen.

Im Euklidischen Raum ist die Abstandsfunktion, wie du schreibst

dl(x, y) = \sqrt{dx^2+dy^2}]

und die Länge eines Kurvenstücks von A nach B damit

l = \int_A^B ! dl \

Für einen Kreisbogen von 90° mit dem Radius r und der Parameterdarstellung der Koordinaten

x = r sin(t)
y = r cos(t)

ergibt sich für die Bogenlänge

l = \int_0^\frac{pi}{2} ! \sqrt{r^2 * (sin^2(x) + cos^2(x)} dt \ = \frac{\pi}{2} r

Und jetzt stellen wir uns den gleichen Kreisbogen auf einem Raster vor

 B

 B
 + \_ \_ . . .
 | . . |\_. .
 | . . . |\_.
 r| . . . . |
 | . . . . |
 .\_.\_.\_.\_.\_+ A

 r

bei einem äquidistanten Raster mit dem Abstand d_x=d_y = d ist der Radius dann n*d.

Da der Weg von A nach B egal ist, solange man sich monoton und stetig von A Richtung B bewegt, ist die Weglänge von A nach B logischerweise immer ein ganzzahliges Vielfaches von d, bzw.

l = \sum_A^B{d_x + d_y}

was im Prinzip dem obigen Kurvenintegral mit der Abstandsfunktion

d=d_x + d_y

der Manhattan-Metrik entspricht. Das Ergebnis der Summenfunktion unter den o.g. Voraussetzungen ist auf jeden Fall 2*r.

Und wenn man versucht die beiden Ergebnisse gleichzusetzen:

\frac{\pi}{2} = 2 r

erhält man natürlich

\pi = 4.

Grüße
Torsten

[Zwergenbrot]

Hallo Torsten,

entschuldige bitte, dass mein Wortwahl etwas entgleist ist, das war unangemessen.

zuerst mal vorausgeschickt, du hattest Recht, die Kurve, die
durch die Geradenstücke angenähert wird ist natürlich stetig,
nicht aber die Ableitung an den Punkten.

Da ja die Ableitung an den Ecken nicht existiert, ist sie auch nicht stetig.

Und wenn man versucht die beiden Ergebnisse gleichzusetzen:

\frac{\pi}{2} = 2 r

erhält man natürlich

\pi = 4.

Du zeigst also:
Berechnet man die Länge des Euklidischen Kreises in der Manhattan Metrik, so kommt 4 heraus.

Die Frage lautet aber nun:
Wieso ist die Euklidische Länge des Euklidischen Kreises nicht gleich 4?
Denn das ist es doch, was den Fragesteller verwirrt. Es zweifelt ja niemand daran, dass alle angegeben Streckenzüge die Länge 4 haben und damit der Grenzwert auch 4 ist.
Die Frage liegt doch darin, warum dann eben nicht

\pi = 4.

gilt, wobei : \pi per Definition die Euklidische Länge des Euklidischen Kreises mit Durchmesser 1 ist.

Und das führt uns zu der eigentlichen Frage:
Wie berechnet man denn die euklidische Länge des euklidischen Kreises richtig?
bzw.
Wie ist denn die euklidische Länge des Kreises definiert (mal abgesehen davon, dass ich dem Ergebnis einen griechischen Buchstaben zuordne)?

Beste Grüße
Zwergenbrot

[Torsten]

Hallo,

Wie ist denn die euklidische Länge des Kreises definiert (mal
abgesehen davon, dass ich dem Ergebnis einen griechischen
Buchstaben zuordne)?

Wenn du mit Euklidischer Länge den Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 meinst, dann ist genau das die Definition. Bzw. das Verhältnis Radius zu Umfang eines beliebigen Kreises. Wenn man ein rechtwinkliges Raster zur Approximation des Kreises wählt, sind ja immer nur maximal 4 Punkte genau auf dem Kreisbogen. Mit der Approximation durch Stufen, wo man sich von Stufe zu Stufe entweder in x- oder in y-Richtung vorwärtsbewegt, kann die Näherung dann nicht genauer als 4 werden, unabhängig vom Rasterabstand. Lässt man auch Diagonalen zwischen den Rasterpunkten zu, hat man keine Manhatten-Metrik mehr, aber die Approximation von Pi wird genauer.

Gruß
T.

[Zwergenbrot]

Hallo,

Wie ist denn die euklidische Länge des Kreises definiert (mal
abgesehen davon, dass ich dem Ergebnis einen griechischen
Buchstaben zuordne)?

Wenn du mit Euklidischer Länge den Umfang eines Kreises mit
dem Radius 1 meinst, dann ist genau das die Definition.

Ja, ich meine den „Umfang des Kreises“ mit dem Durchmesser(!) 1. Aber wie ist denn der „Umfang“ definiert? Wenn ich dem Kreis für den „Umfang“ eine Zahl zuordnen soll, dann musst Du erklären welche Zahl das ist.
D.h. man muss erklären, was genau man unter der Länge der Kreislinie versteht.

Lässt man auch
Diagonalen zwischen den Rasterpunkten zu, hat man keine
Manhatten-Metrik mehr, aber die Approximation von Pi wird
genauer.

Die Approximation wird nicht nur genauer, sie wird im unendlichen sogar exakt.
Es stellt sich die Frage: Wieso ist die Approximation unter Verwendung der Diagonalen um so vieles besser?
Und wenn beides Approximationen für die gleiche Länge sind, wieso ist dann die eine die „richtige“ und die andere, die „falsche“?

Und die Antwort auf diese Fragen liegt schlicht in der Definition der Länge Kreiskurve.

Beste Grüße
Zwergenbrot

[Torsten]

Hallo,

Und wenn beides Approximationen für die gleiche Länge sind,
wieso ist dann die eine die „richtige“ und die andere, die
„falsche“?

weil eine Kurvenlänge immer auch von der struktur des Raumes abhängt.

Und die Antwort auf diese Fragen liegt schlicht in der
Definition der Länge Kreiskurve.

Dazu schrieb ich ja weiter oben schon was.

Gruß
T.