Hallo zusammen,
habe gerade dieses Bild gefunden und komme damit nicht klar. ._.
Wo ist der Denkfehler? Wo trollt mich der Mathetroll?
mit verzweifeltem Gruß,
Hanzo
Hallo Hanzo,
habe gerade dieses Bild gefunden und komme damit nicht klar.
Wo ist der Denkfehler? Wo trollt mich der Mathetroll?
denk mal genau nach.Du kannst die Treppenabstufung des Kreises am Kreisumfang noch
so verfeinern, es kommt immer 4*d für den „Umfang“ raus .
Na - hast du’s ?
Es ist doch wie bei der Diagonale eines Rechteckes.Wird sie abgetreppt dargestellt ergibt
sich die Länge als Addition zweier Seiten.
Gruß Viktor
Hoi,
aber dann wären das ja schon 2 Beispiele die ja stimmen würden, oder?
Im Grenzfall ist bei mir der Kreisumfang erreicht.
Im Grenzfall ist dann die Diagonale so lang, wie 2 Seiten (kenne jetzt dein Beispiel nicht ganz genau).
Aber wie kann man das mathematisch Beweisen, dass es nciht so ist und der Grenzfall mich hier „belügt“?
Gruß,
Hanzo
Hoi
Genau das Thema war hier schon mal vor einigen Monaten.
Egal, wie klein du die Treppenstufen machst, es bleiben Treppenstufen. Du kannst keine Diagonale und keinen Kreis(umfang) durch fortgesetzte Treppenstufen erreichen, du näherst dich immer nur an.
Stell dir vor, mit jeder Halbierung der Länge der Treppenstufen (oder Verdoppelung der Anzahl) wirst du selbst kleiner, und zwar genau um die Hälfte. Dann wird der Kreis relativ zu dir grösser, die Stufen bleiben aber exakt gleich gross.
Und jetzt stell dir das unendlich oft wiederholt vor. Die Stufen bleiben in alle Ewigkeit im Verhältnis zu dir genauso gross, wie sie sind, der Kreis wird beliebig gross, aber die Stufen bleiben Stufen, der Kreisumfang bleibt rund. Nur der Massstab verschiebt sich.
Ein Kreis besteht eben nicht aus Treppenstufen. Auch nicht aus ganz, ganz winzig kleinen. 
Das ist das Problem der Unendlichkeit. Man kann sich nicht so recht vorstellen, dass sie eben wirklich nie aufhört! Und dass es im Kleinen auch nie aufhört. (Jedenfalls in der Mathematik. Die Materie scheint da eine kleinste Länge zu haben, aber das interessiert hier nicht.)
Schönen Gruss und gute Nacht
dodeka
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Hallo,
Im Grenzfall ist bei mir der Kreisumfang erreicht.
Im Grenzfall ist dann die Diagonale so lang, wie 2 Seiten
Aber wie kann man das mathematisch Beweisen, dass es nciht so
ist und der Grenzfall mich hier „belügt“?
Du belügst dich nur selbst.
dx+dy ist nicht gleich sqr(dx^2+dy^2)
Gruß Viktor
Hallo,
ein schönes Bild, finde ich. Und es zeigt wieder wie vorsichtig man mit Bildern und Intuition im Unendlichen sein muss.
Was hilft ist absolute Klarheit in den Begriffen. Wie ist die Länge einer Kurve definiert?
(siehe „Länge einer Kurve“ und „Rektifizierbarkeit“).
Da fällt auf, dass man definitionsgemäß die Kurve durch Strecken annähern muss, deren Start- und Endpunkt auf der Kurve liegen und deren Länge gegen Null geht. Und dann kann man Nachweisen, dass da auch immer dasselbe rauskommt (unabhängig von der exakten Position der Start-/Endpunkte).
Wenn man (wie hier) andere Streckenzüge zur Approximation heranziehen will, dann muss man nachweisen, dass der Grenzwert der Gleiche ist. Und das geht hier eben nicht.
Konkret liegt hier das Problem natürlich darin, dass auch die sehr feine Kurve immer nur am Kreis lang wackelt und sich nicht wirklich anschmiegt. Das da für die Länge nicht dasselbe rauskommt, ist vielleicht nicht offensichtlich, aber wie gesagt: Damit man diese Annährung für die Bestimmung der Länge nutzen darf, muss man eben nachweisen, dass ihre Länge genau richtig verhält.
Das Beispiel zeigt auch, wie viel Sorgfalt man manchmal reinstecken muss um so einfach Begriffe wie die Länge einer Kurve exakt zu definieren, ohne das es zu Widersprüchen kommt. Wer solche Beispiele nicht kennt neigt dazu den Mathematikern Pedanterie vorzuwerfen.
Noch eine Anmerkung: Ich habe mal gelesen, dass exakt dieses Problem der angenäherten Kreisbahn den Herrn Newton zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung motiviert haben soll, weil er nämlich versucht haben soll die Kreisbahn des Mondes durch eben solche kleinen Stürze und Verschiebungen anzunähern und auch gemerkt hat, dass das irgendwie nicht mit der Intuition zusammengeht.
Beste Grüße
Zwergenbrot
Hallo Hanzo,
habe gerade dieses Bild gefunden und komme damit nicht klar.
._.Wo ist der Denkfehler? Wo trollt mich der Mathetroll?
Der Fehler liegt darin, dass die Fläche des Gebildes immer grösser als die Kreisfläche ist!
Bei den Treppenstufen liegt nur eine Ecke auf dem Kreis und die andere Ausserhalb!
Um eine Näherung zu bekommen, müsste die eine Ecke innerhalb des Kreises liegen und die andere ausserhalb.
MfG Peter(TOO)
Hallo Peter
habe gerade dieses Bild gefunden und komme damit nicht klar.
Wo ist der Denkfehler? Wo trollt mich der Mathetroll?
Der Fehler liegt darin, dass die Fläche des Gebildes immer
grösser als die Kreisfläche ist!
da liegst du mal völlig daneben.
Es geht hier doch um die „Ermittlung“ von pi=U/d ! ist dir das klar ?
Egal, ob die Treppe innerhalb oder außerhalb (egal wo) des Kreises oder darauf liegt es
kommt immer U= 4 d raus.
Um eine Näherung zu bekommen, müsste die eine Ecke innerhalb
des Kreises liegen und die andere ausserhalb.
Also - wenn man schon hier was „besser weiß“ sollte man nicht das Bauchgefühl sprechen
lassen sondern den (Fach-) Verstand.
Außerdem ist es immer nützlich, die schon vorh.Beiträge zu lesen, damit man sich nicht
blamiert.(man darf hier auch schweigen)
Gruß Viktor
PS.
Bei der Flächenermittlung könnte man die Feinabtreppung auf der Umgrenzung als
Näherungswert benutzen - wenn man denn die Parameter hat.
Hallo Viktor,
Wo ist der Denkfehler? Wo trollt mich der Mathetroll?
Der Fehler liegt darin, dass die Fläche des Gebildes immer
grösser als die Kreisfläche ist!da liegst du mal völlig daneben.
Es geht hier doch um die „Ermittlung“ von pi=U/d ! ist dir das
klar ?
Es ist aber egal ob man über den Umfang oder die Fläche rechnet, Pi sollte den selben Wert ergeben.
Egal, ob die Treppe innerhalb oder außerhalb (egal wo) des
Kreises oder darauf liegt es
kommt immer U= 4 d raus.
Bei dieser Konstruktion schon.
Man müsste eine ganz andere Konstruktion wählen, damit die Treppen-Ecken inner- und ausserhalb der Kreislinie liegen.
MfG Peter(TOO)
Hallo Peter(TOO),
Der Fehler liegt darin, dass die Fläche des Gebildes immer
grösser als die Kreisfläche ist!
Das Argument verstehe ich nicht. Hier wird doch die Länge der Kurve betrachtet, nicht die eingeschlossene Fläche. Außerdem wirft Dein Argument sofort die Frage auf, wie es sich bei der angegebenen eigentlich mit der Fläche verhält. Im Gegensatz zum Umfang, ist die Fläche ja nicht konstant.
Hat jemand Lust zu rechnen?
Bei den Treppenstufen liegt nur eine Ecke auf dem Kreis und
die andere Ausserhalb!Um eine Näherung zu bekommen, müsste die eine Ecke innerhalb
des Kreises liegen und die andere auß(!)erhalb.
Auch dieses Argument halte ich für wenig überzeugend.
Ganz klassisch berechnet man ja pi, indem man in den Kreis n-Ecke einbeschreibt. Meist betrachtet man solche, wo die Anzahl der Ecken eine 2er Potenz ist. Lässt man die Anzahl der Ecken gegen unendlich gehen, so nähert sich der Umfang der n-Ecke dem Umfang des Kreises an.
Bei dieser Konstruktion liegen dann alle Streckenzüge vollständig innerhalb des Kreises und dennoch konvergiert sowohl die Folge der Umfänge, als auch die der Flächeninhalte gegen den Umfang respektive die Fläche des Kreises.
Wo also liegt der Denkfehler?
Beste Grüße
Zwergenbrot
Hallo Peter,
Es geht hier doch um die „Ermittlung“ von pi=U/d ! ist dir das
klar ?Es ist aber egal ob man über den Umfang oder die Fläche
rechnet, Pi sollte den selben Wert ergeben.
Dies war hier nicht das Thema. Außerdem ist es bei dieser „Methode“ nicht egal.
Egal, ob die Treppe innerhalb oder außerhalb (egal wo) des
Kreises oder darauf liegt es
kommt immer U= 4 d raus.Bei dieser Konstruktion schon.
Man müsste eine ganz andere Konstruktion wählen, damit die
Treppen-Ecken inner- und ausserhalb der Kreislinie liegen.
Dann mach doch mal. Diese Aussage von dir ist völlig nichtssagend.
Was ist mit die nur los ??
Gruß Viktor
Hallo,
ein schönes Bild, finde ich. Und es zeigt wieder wie vorsichtig man mit Bildern und Intuition
im Unendlichen sein muss.
wie wahr, wie wahr 
Da fällt auf, dass man definitionsgemäß die Kurve durch Strecken annähern muss, deren
Start- und Endpunkt auf der Kurve liegen
Nein, das muss man keineswegs. Das entscheidende Kriterium ist ein anderes.
Das Beispiel zeigt auch, wie viel Sorgfalt man manchmal reinstecken muss um so einfach
Begriffe wie die Länge einer Kurve exakt zu definieren, ohne das es zu Widersprüchen kommt.
Der Grund für den Widerspruch hier liegt nicht in der Definition der Länge einer Kurve (die Längen aller Zickzacklinien sowie des Kreisbogens sind wohldefiniert), sondern in der Tatsache, dass die Zickzacklinie zwar punktweise gegen den Kreisbogen konvergiert, aber nicht gleichmäßig. Das ausschlaggebende Kriterium dafür, dass sich irgendeine Kurvenfolge „auf gutmütige Weise“ irgendeiner bestimmten Kurve (hier der Kreisbogen) annähert und dadurch dann solche Längen- oder andere Paradoxa ausgeschlossen sind, nennen die Mathematiker gleichmäßige Konvergenz (der Folgenglieder gegen die Kurve). Sie stellt eine Art „Edel-Konvergenz“ dar, im Gegensatz zur „primitiven“ punktförmigen Konvergenz.
Die mathematisch-technischen Details dazu möchte ich hier nicht ausbreiten; wer’s genau wissen will sei z. B. auf die Wikipedia verwiesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_…
Gruß
Martin
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Hallo,
wenn du den Raum (oder die Fläche) durch ein Raster annäherst hast du keinen euklidischen Raum mehr, sondern eine Manhattan-Metrik, wo dann auch andere Gesetze gelten.
Gruß
T.
Hallo,
Nein, das muss man keineswegs. Das entscheidende Kriterium ist
ein anderes.
Doch, das muss man. Zumindest, wenn man die Länge einer Kurve z.B. so definiert, wie man es bei Wikipedia findet:
http://de.wikipedia.org/wiki/Weg_(Mathematik)
Oder natürlich in ernsthafteren Referenzen wie dem Königsberger Analysis I.
Wer behauptet, dass der Kreis nicht den Umfang 4 hat, der muss genau sagen, wie der Umfang des Kreises genau definiert ist.
Der Grund für den Widerspruch hier liegt nicht in der
Definition der Länge einer Kurve (die Längen aller
Zickzacklinien sowie des Kreisbogens sind wohldefiniert),
Zumindest sind die Längen von rektifizierbaren Wegen wohldefiniert. Und zwar wie?
„Zickzacklinien“ können durchaus auch mal unendlich lang sein. Und da würde ich vorsichtig sein und einen Experten fragen, bevor ich behaupte, dass da alles ganz klar ist.
Beim Volumen kann man da ja die ein oder andere Überraschung erleben (siehe z.B. Banach-Tarski-Paradoxon).
sondern in der Tatsache, dass die Zickzacklinie zwar
punktweise gegen den Kreisbogen konvergiert, aber nicht
gleichmäßig.
Nun, dann solltest Du aber auch was zur „gleichmäßigen Konvergenz von Kurven“ sagen und nicht von Funktionen. Oder Du sagst was, zur verwendeten Parametrisierung. Wie genau meinst Du das hier?
Das ausschlaggebende Kriterium dafür, dass sich
irgendeine Kurvenfolge „auf gutmütige Weise“ irgendeiner
bestimmten Kurve (hier der Kreisbogen) annähert und dadurch
dann solche Längen- oder andere Paradoxa ausgeschlossen sind,
nennen die Mathematiker gleichmäßige Konvergenz (der
Folgenglieder gegen die Kurve). Sie stellt eine Art
„Edel-Konvergenz“ dar, im Gegensatz zur „primitiven“
punktförmigen Konvergenz.
Nun, ich kenne gleichmäßige Konvergenz (abhängig von der Norm) für Funktionenfolgen. Auch kenne ich Stochastische Konvergenz und Konvergenz nach Maß. Der „Mathematiker“ kennt ja recht viele Arten der Konvergenz. Und je nach Situation folgen gewisse Aussagen für die Grenzfunktion.
Könntest Du den Grenzwertsatz, der Dir hier vorschwebt, angeben?
Die mathematisch-technischen Details dazu möchte ich hier
nicht ausbreiten; wer’s genau wissen will sei z. B. auf die
Wikipedia verwiesen:
Hier finde ich nur etwas zu Funktionenfolgen, nicht zu Kurven (=parametrisierte Wege oder Varietäten). Außerdem finde ich hier Aussagen zur Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Grenzfunktion, nicht aber zur Rektifizierbarkeit.
Bitte tu mir den Gefallen und führe die technischen Details etwas weiter aus.
Beste Grüße
Zwergenbrot
Wie soll denn die Annährung des Kreises durch eine Kurvenfolge die Metrik ändern?
Wieso „hat er dann eine Metrik“?
Was soll das überhaupt heißen „Du hast dann eine andere Metrik.“?
Natürlich hängt die Länge eines Weges von der Metrik ab.
Aber hier wird der Umfang des Kreises gesucht, d.h. die Länge eines geschlossenen Weges in der euklidischen Metrik des zweidimensionalen Raumes.
Man nähert hier den Kreis mit Hilfe von Kurven an, deren Länge bzgl. der euklidischen Geometrie stets 4 ist. Dieselbe Metrik!
Niemand hat behauptet, dass die Folgeglieder dieser Kurvenfolge alles Kreise in irgendeiner abgefahrenen Metrik seien!
Wenn Dich jemand bittet den Umfang eines Quadrats mit Kantenlänge 1 auszurechnen, dann sagst Du doch nicht: „Oh, ein Quadrat, das kann ich ja auch als Kreis in der Manhatten-Metrik auffassen, da kann die Antwort ja nur 4xWurzel(2) lauten“.
NICHT ALLES WAS HINKT IST EIN VERGLEICH!
Wie soll denn die Annährung des Kreises durch eine Kurvenfolge
die Metrik ändern?
Wieso „hat er dann eine Metrik“?
Was soll das überhaupt heißen „Du hast dann eine andere
Metrik.“?
Der Kreis wird durch (äquidistante) Rasterpunkte angenähert, zu denen man nur entlang der waagerechten und sekkrechten Rasterlinien gelangen kann.
Natürlich hängt die Länge eines Weges von der Metrik ab.
Aber hier wird der Umfang des Kreises gesucht, d.h. die Länge
eines geschlossenen Weges in der euklidischen Metrik des
zweidimensionalen Raumes.
Man nähert hier den Kreis mit Hilfe von Kurven an, deren Länge
bzgl. der euklidischen Geometrie stets 4 ist. Dieselbe Metrik!
Eben, man kann die Schritte beliebig klein machen, näher geht es nicht.
Niemand hat behauptet, dass die Folgeglieder dieser
Kurvenfolge alles Kreise in irgendeiner abgefahrenen Metrik
seien!
Wer spricht denn von Kreisen? Die gibt es in der besagten Metrik gar nicht, aber vielleicht verwechselst du hier was mit konformen Abbildungen.
NICHT ALLES WAS HINKT IST EIN VERGLEICH!
Das war eine Erklärung, kein Vergleich.
Wie soll denn die Annährung des Kreises durch eine Kurvenfolge
die Metrik ändern?
Wieso „hat er dann eine Metrik“?
Was soll das überhaupt heißen „Du hast dann eine andere
Metrik.“?Der Kreis wird durch (äquidistante) Rasterpunkte angenähert,
zu denen man nur entlang der waagerechten und sekkrechten
Rasterlinien gelangen kann.
Mal abgesehen davon, dass der Kreis nicht durch Punkte, sondern einen Streckenzug angenähert wird, steht immer noch die Frage: Wo soll hier die andere Metrik herkommen?
Es ist der EUKLIDISCHE Kreis (sieh unten) der mit Strecken angenähert wird, deren Länge bzgl. Der EUKLIDISCHEN Metrik angegeben wird. Dass die Strecken zufällig senkrecht und waagerecht verlaufen führt nicht zu einer neuen Metrik.
Wie soll denn eine Kurve eine Metrik induzieren. Das ist totaler Quatsch!
Natürlich hängt die Länge eines Weges von der Metrik ab.
Aber hier wird der Umfang des Kreises gesucht, d.h. die Länge
eines geschlossenen Weges in der euklidischen Metrik des
zweidimensionalen Raumes.
Man nähert hier den Kreis mit Hilfe von Kurven an, deren Länge
bzgl. der euklidischen Geometrie stets 4 ist. Dieselbe Metrik!Eben, man kann die Schritte beliebig klein machen, näher geht
es nicht.
Was geht nicht? Ich bin mir sicher, dass keiner von uns beiden weiß, was Du hier sagen willst.
Niemand hat behauptet, dass die Folgeglieder dieser
Kurvenfolge alles Kreise in irgendeiner abgefahrenen Metrik
seien!Wer spricht denn von Kreisen? Die gibt es in der besagten
Metrik gar nicht, aber vielleicht verwechselst du hier was mit
konformen Abbildungen.
Nein. Der Kreis mit Radius R um Punkt P ist die Menge aller Punkte, die von P den Abstand R haben. Es gibt also in jeder Metrik Kreise. Sie sehen nur gelegentlich anders aus. in der Manhatten-Metrik sind die Kreise stets Quadrate. Der Einheitskreis (Radius 1 um Punkt (0,0)) ist ein Quadrat mit den Eckpunkten (1,0), (0,1), (-1,0), (-0,1).
Zum Vergleich: Bei der Metrik, die von der Maximumsnorm induziert wird, ist der Einheitskreis (Radius 1 um (0,0)) ein Quadrat mit den Eckpunkten (-1,1), (1,1), (-1,-1), (1,-1).
NICHT ALLES WAS HINKT IST EIN VERGLEICH!
Das war eine Erklärung, kein Vergleich.
Das ist keine Erklärung, sondern eine freie Assoziation zu irgendeinem Bild was Du mal in Zusammenhang mit dem Wort „Manhatten-Metrik“ gesehen hast.
Hallo,
OK, da muss ich jetzt durch: Nach einigem Nachdenken über Deine Argumente teile ich mittlerweile Deine (mutmaßliche) Ansicht, in meinem Artikel ziemlichen Humbug verzapft zu haben. Tut mir leid, war selbstverständlich keine böse Absicht. Meinen Behauptungen, insbsondere jener, der Fehler in diesem Scheinbeweis von „π = 4“ habe etwas mit der Art der Konvergenz (punktweise bzw. gleichmäßig) zu tun, widerspreche ich hiermit also ausdrücklich.
Du hast recht, die Auflösung des Paradoxons ist in der Längendefinition zu finden. Wenn man sich mit einer etwas vereinfachten Darstellung zufriedengeben will, könnte man sagen, der Fehler liegt darin, dass die Zickzacklinie sich zwar dem Kreisbogen annähert, aber die Steigungen der Zickzacklinie nähern sich dabei nicht den Tangenten an den Kreisbogen an. Ebendies wird aber von der Längendefinition (bzgl. der gewöhnlichen euklidischen Metrik) verlangt. Schon an der Formel für die Länge eines Funktionsgraphen(-abschnitts) kann man dies erkennen:
L = \int_a^b \sqrt{1 + f’(x)} :dx
Das Auftreten der Ableitung f’(x) im Integranden ist der entscheidende Punkt.
Hier ist es ausführlich und mit ein paar Bildchen (auf englisch) erklärt:
http://www.askamathematician.com/2011/01/q-%CF%80-4/
Am Anfang findet sich dort noch der Hinweis auf eine (den tiefsten Tiefen der Analysis entspringende) mathematisch exakte Antwort, welche als „lang und uninteressant“ bezeichnet wird.
Gruß und Danke für die Antwort
Martin
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Mal abgesehen davon, dass der Kreis nicht durch Punkte,
sondern einen Streckenzug angenähert wird, steht immer noch
die Frage: Wo soll hier die andere Metrik herkommen?
Es ist eben kein stetiger Streckenzug sondern eine Verbindung von Raterpunkten, so wie es dargestellt wurde.
Es ist der EUKLIDISCHE Kreis (sieh unten) der mit Strecken
angenähert wird, deren Länge bzgl. Der EUKLIDISCHEN Metrik
angegeben wird.
Dass die Strecken zufällig senkrecht und waagerecht verlaufen führt nicht zu einer :neuen Metrik.
Wie soll denn eine Kurve eine Metrik induzieren. Das ist
;totaler Quatsch!
Siehe oben
Was geht nicht? Ich bin mir sicher, dass keiner von uns beiden
weiß, was Du hier sagen willst.
Man kann das Raster beliebig verfeinern und kommt immer auf den Wert 4 für das Verhältnis von Radius und Umfang
Nein. Der Kreis mit Radius R um Punkt P ist die Menge aller
Punkte, die von P den Abstand R haben. Es gibt also in jeder
Metrik Kreise.
Nein, und die Punkte durch die der Kreis angenähert wird haben ausser 4 immer einen anderen Abstand als r vom Mittelpunkt.
In Manhatten-Metrik sind die Kreise stets Quadrate. Der
Einheitskreis (Radius 1 um Punkt (0,0)) ist ein Quadrat mit
den Eckpunkten (1,0), (0,1), (-1,0), (-0,1).
Zum Vergleich: Bei der Metrik, die von der Maximumsnorm
induziert wird, ist der Einheitskreis (Radius 1 um (0,0)) ein
Quadrat mit den Eckpunkten (-1,1), (1,1), (-1,-1), (1,-1).
Schon, aber es ist ja bewiesen, dass der Kreis kein Quadrat ist.
Wenn man den Raum zwischen den Punkten nicht betrachten kann, weil er bei dieser Art der Annäherung durch ein Raster praktisch nicht existiert, kommt man natürlich zu einem anderen Ergebnis, das sich auch durch beliebige Verfeinerung nicht weiter annähert. Das Problem ist, dass der Kurvenzug an den Rasterpunkten eben nicht stetig ist.
Das ist keine Erklärung, sondern eine freie Assoziation zu
irgendeinem Bild was Du mal in Zusammenhang mit dem Wort
„Manhatten-Metrik“ gesehen hast.
Nö, das ist genau das, was in dem Beispiel auftritt.
Hallo,
jeder liegt mal daneben und gerade bei der Mathematik kann man schnell mal auf dem falschen Dampfer sein. Umso so stärker ist Dein aktueller Beitrag.
Beste Grüße
Zwergenbrot