Liebe/-r Experte/-in!!
Hallo, ich hätte mal ein paar Fragen zu eineigen Aufgaben. Wäre nett, wenn mir jemand antworten könnte.
1a) Bestimmen Sie für nachfolgend angegebene Polynome f,g ∈ R[x] zwei Polynome q,r ∈ R[x] mit
f = q · g + r und deg r
Wäre sehr froh, wenn mir jemand antworten würde.
Leider kann ich dazu nichts gescheites sagen.
Gruß
JoKu
1a)
Grad q * Grad g muss 5 ergeben --> Grad q = 3
q(x)=ax³+bx²+cx+d
multiplizier das mit g(x), mach nen Koeffizientenvergleich und du erhältst q(x)=2x³+4x²-8x+10
Dann fehlt nur noch r(x)=-10x+8
2)Falls das da Quadrate in der 2. und 3. Klammer sein sollen, gilt für K=Q:
einzige Nullstelle = -2 und 24(x+2)(x²-2)(x²+2)
Für K=R gilt:
weitere Nullstelle = sqrt(2)
da solltest du die mittlere KLammer mal per Polynomdivision durch (x-sqrt(2)) teilen.
Dann kriegst du 24(x+2)(x-sqrt(2))(x+sqrt(2))(x²+2).
Für K=C gilt:
weitere Nullstelle = sqrt(-2)
da solltest du die letzte Klammer mal per Polynomdivision durch (x-sqrt(-2)) teilen.
Dann kriegst du
24(x+2)(x-sqrt(2))(x+sqrt(2))(x-sqrt(-2))(x+sqrt(-2))
Hab da noch die Minus vergessen.
Also Nullstellen in R: +sqrt(2) und -sqrt(2)
Analog in C: +sqrt(-2) und -sqrt(-2)
1a)
b)
google Polynomdivision
- Faktorisieren Sie f(x):=(4x+8)(3x2−6)(2x2+4)∈K[x] für
K=Q,K=R und K=C(komplexe Zahlen) jeweils so weit als möglich,
Das ist doch beinahe schon faktorisiert. Da muss man nur Wurzeln ziehen.
C
Liebe/-r Experte/-in!!
Hallo, ich hätte mal ein paar Fragen zu eineigen Aufgaben.
Wäre nett, wenn mir jemand antworten könnte.
1a) Bestimmen Sie für nachfolgend angegebene Polynome f,g ∈
R[x] zwei Polynome q,r ∈ R[x] mit
f = q · g + r und deg r
Hallo Kris, ich muss passen.
Peter
Keine Ahnung
Ich wenn so wär wie mein Assistent. Na würd ich jetzt sagen, du musst dringend mal was tun. Thema Polynomdivision ( PD ) ; Aufg. 1a)
Schau dir mal an, wie ein ====> euklidischer Ring definiert ist. Es sei eine ====> Gradfunktion erklärt so, dass die PD durchführbar ist - du wiederholst doch nur ihre Def.
Schau mal in ein gescheites Algebraskript; die PD existiert nicht nur, ihr Ergebnis ist sogar eindeutig.
Sei K = Körper; dann ist K [x] euklidisch.
Du führst demnach die PD einfach aus:
x ^ 5 + 2 x ^ 4 - 6 x ³ + x ² + 3 x - 6 = ( 1 )
= ( x ² - 2 ) ( x ³ + 2 x ² - 4 x + 5 ) - 5 x + 4 ( 2 )
Hiern Tipp für Doofe. Jetzt googelst du nach Arndt Brünner; Nullstellen von Polynomen. Dem gibst du original diese bekackte Klammer in ( 2 ) ( kopieren mit der Maus ) Dann macht der dir wieder ( 1 ) draus …
sorry, derzeit zuviel stress,
viel glück
-
Zu bestimmen sind nicht 2 verschiedene Möglichkeiten für r, sondern q und r sind 2 Polynome. Dazu macht man Polynomdivision f : g…
-
Wie in aller Welt kommst du mit Polynomdivision auf ein Polynom, das einen höheren Grad hat? Du hast wohl eher einen Teil von f ausmultipliziert und damit in eine Form gebracht, die noch weiter von der Lösung entfernt ist. f ist ja bereits teilweise faktorisiert, nur dass der 1. Faktor nicht normiert ist und die übrigen auch nicht linear, sondern quadratisch. Aber von den quadratischen Faktoren kannst du die Nullstellen doch mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmen! Dann ergibt sich, welche davon in Q, welche in R und welche nur in C sind.
Hallo Kris!
1.a) Wie kommst Du auf r=-12 bzw. r=6x-12? (Weißt Du, wie man Polynome multipliziert? Wenn Du annimmst, daß die beiden Glieder von f mit dem geringsten Grad das Polynom r liefern müssen, dann machst Du irgendeinen grundsätzlichen Denkfehler!)
Polynomdivision von f durch g liefert doch:
2x^3 + 4x^2 – 8x + 10 (das ist dann auch das q),
und es bleibt der Rest -10x + 8 (das ist das r, aber das ergibt sich auch, wenn man q kennt und einfach ausmultipliziert).
(Die Polymomdivision kann ich nicht so richtig als Text schreiben, ich hoffe, Du kannst das trotzdem nachvollziehen. Sonst sieh z. B. bei Wikipedia nach.)
b) Wenn f = f_1 + f_2 und f_n = q_n * g + r_n, dann:
f = q_1 * g + r_1 + q_2 * g + r_2 = (q_1 + q_2) * g + (r_1 + r_2)
(…was denn sonst?)
f ∈ K[x] folg, da K ein Körper ist und somit alle Koeffizienten von f in K liegen müssen, da sie sich durch Grundrechenoperationen aus Elementen von K ergeben. Die Berechnung unter a) zeigt auch, daß q und r unter den gegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt sind, da das Ergebnis der Polynomdivision ja eindeutig ist.
- Erstmal zum Verständnis: Es heißt sicher (4x+8)(3x^2−6)(2x^2+4), oder?
Durch was für eine Polynomdivision kommt man jetzt auf 24x^4-96? (…und wozu muß man hier überhaupt eine Polynomdivision machen?)
Man muß doch nur die Faktoren soweit wie möglich ausklammern:
4(x+2) * 3(x^2−2) * 2(x^2+2)
24(x+2)(x^2−2)(x^2+2)
Man sieht doch sofort, daß -2, +/-Wurzel(2) und +/-(Wurzel(2))i die Nullstellen sind, also:
24(x+2)(x+Wurzel(2))(x-Wurzel(2))(x+Wurzel(2)i)(x-Wurzel(2)i)
In Q ist dann natürlich 24(x+2)(x^2−2)(x^2+2) das Ergebnis und -2 die einzige Nullstelle, in R 24(x+2)(x+Wurzel(2))(x-Wurzel(2))(x^2+2) und es kommen +/-Wurzel(2) als Nullstellen dazu, in C dann das oben geschriebene und alle fünf Nullstellen.
Gruß
Stefan
Hallo Kris,
Hallo,
hier mein Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1:
a) Wenn Du eine Polynomdivision durchführst, über die Du dich bei
www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm
informieren kannst, erhältst Du
(2x^5+4x^4-12x^3+2x^2+6x-12)
x^2-2) = 2x^3+4x^2-8x+10 mit dem Rest –10x+8.
Das erste Polynom hinter dem Gleichheitszeichen ist das gesuchte q(x),
der Rest ist r(x)= -10x+8. Du kannst zur Kontrolle ausmultiplizieren!
Eine zweite Möglichkeit ist der Koeffizientenvergleich: Du weißt, dass q(x) wegen 2x^5 vom Grad 3 sein muss und r linear, also vom Grad 1.
Aus f = q×g + r ergibt sich
2x^5+4x^4-12x^3+2x^2+6x-12 = (ax^3+bx^2+cx+d) ×(x^2-2) + ex+f
Man sieht sofort, dass der Term 2x^5 nur entsteht aus dem Produkt von
ax^3 mit x^2, also ist a = 2.
Der nächste Summand 4x^4 entsteht ebenfalls nur aus einem Produkt,
nämlich bx^2 mal x^2, also ist b = 4.
Der dritte Summand von f, nämlich - 12x^3 entsteht aus zwei Produkten,
nämlich cx ×x^2 und ax^3×(-2), also ist –2a + c = -12.
Wenn Du so weitermachst, erhältst Du dazu noch die Gleichungen
-2b+d = 2
-2c + e = 6 und
-2d + f = -12.
Diese sechs Gleichungen lassen sich leicht lösen und liefern
a=2, b=4, c=-8, d= 10, e= -10 und f=8.
b) Da f Summe von zwei Polynomen ist und alle Polynome über K einen Ring bilden, ist auch die Summe wieder ein Polynom über K und es gilt (Assoziativ- und Distributiv-gesetz)
f(x) = f1(x) + f2(x) = (q1(x) × g(x) + r1(x) ) + (q2(x) ×g(x) + r2(x) )
f(x) = (q1(x) + q2(x)) ×g(x) + (r1(x) + r2(x)),
also (q1(x) + q2(x)) = q(x) und r1(x) +r2(x) = r(x).
Der Grad von r ist gleich dem Maximum von (Grad r1, Grad r2),
jede dieser beiden Zahlen ist kleiner als deg g,
also ist auch deg r
Habe leider keine Zeit, aber beim schnellen Überfliegen ist mir sofort aufgefallen:
Jetzt muss ich g(x)= (24x^4-96)(x+2) faktorisieren. Das geht
aber nicht.
Irrtum!
24x^4 - 96 = 24*(x^4 - 4) = 24*(x^2 + 2)(x^2 - 2) =
24*(x^2 + 2)(x + wurzel(2))(x - wurzel(2))
Gruß
Karl
also bei 1 geht es um den euklidischen algorithmus, was du mit a+b+c willst, ist mir nicht klar.
2: das polynom ist ja praktischerweise schon „vorfaktorsiert“. nun bestimmte die komplexen nullstellen der faktoren, wenn welche davon nicht reell bzw. nicht rational sind, muessen die faktoren in den entsprechenden faktorisierungen halt unzerlegt bleiben. sprich, im ersten fall wird nur der erste faktor zerlegt, im zweiten die ersten beiden und im dritten alle (klar, ueber C zerfaellt jedes polynom).