Hallo,
wie berechnet man Potenzen mit gebrochenen Exponenten ??
Dieses Thema habe ich gerade in Mathematik (9. Klasse, Gymnasium). Doch ich verstehe das nicht ganz, wie unser Lehrer uns das erklärt…
Eine Erklärung wäre echt sehr nett 
LG Danny
Ist eigentlich ganz einfach:
X^(1/2) ist die normale (zweite) Wurzel,
X^(1/3) ist die dritte Wurzel,
X^(1/4) ist die vierte wurzel,
…
Also zum Beispiel 8 hoch 1/3 gleich 2. (Da 2 hoch 3 gleich 8)
Das macht Sinn, denn es geht darum, dass 8^(1/3)^3 das gleiche sein soll, wie 8^(1/3*3) also 8^1, sprich wieder 8.
Es geht also darum, mit allen Brüchen als Exponenten wie mit der ganz normalen Bruchrechnung rechnen zu können.
Das funktioniert auch, das einzige, was man sich dabei merken muss, ist, dass (X^Y)^Z = X^(Y*Z) ist.
Etwas ausführlicher ist das z.b. hier erklärt:
Hallo Danny,
Du fragst
wie berechnet man Potenzen mit gebrochenen Exponenten
Falls mit „gebrochenen“ Exponent ein rationaler Exponent gemeint ist, d.h. ein Exponent der Form
y =\frac{a}{b}
wobei a und b ganzzahlig sind
gilt folgendes:
Mit
x^\frac{1}{b} = \sqrt[b]{x}
erhält man
x^y = x^\frac{a}{b} = (x^\frac{1}{b})^a = (\sqrt[b]{x})^a
Falls der Exponent nicht rational ist, muss man mit dem Logarithmus arbeiten.
Es gilt:
\log(x^y) = y * \log(x)
und
z = 10^{\log(z)}
Somit erhält man
x^y = 10^{y*\log(x)}
Viele Grüße AGb
Zunächst zum Rechnen mir gebrochenen Exponenten:
a hoch 1/2 = (zweite) Wurzel aus a
a hoch 1/3 = dritte Wurzel aus a
a hoch 1/4 = vierte Wurzel aus a
usw.
a hoch 2/2 = Wurzel aus a-Qaudrat, also a oder a hoch 1
a hoch 2/3 = dritte Wurzel aus a-Quadrat
usw.
ergo: der Nenner des Exponenten nennt die (zweite, dritte usw) Wurzel aus der Potenz, deren Exponent durch den Zähler des gebrochen Exponenten bestimmt wird.
Dies muss so sein, damit die Potenzregel („Potenzen werden potenteziert indem man die Exponenten mutlitipliziert“) auch für Brüche gellten - einfach mal ausprobieren.
Gruß Dr. Faust: „Zwar weiß ich viel, doch allwissend bin nicht“
Hallo Danny
a hoch (b:c) ist doch nur ein anderes Symbol für die c-te Wurzel aus a hoch b.Falls Du nicht weißt, was die c-te Wurzel aus a hoch b ist, melde Dich noch mal bei mir. (5. Wurzel aus 3 hoch 10 ist zum Beispiel 9 - kann st Du leicht mit dem Taschenrechner prüfen ; würdest Du stattdessen 3 hoch (10:5) schreiben, bräuchtest Du nicht einmal den Taschenrechner, denn dass 3 hoch 2 gleich 9 ist, weiss man auch so.
Viele Grüße von Max
Hallo Danny,
Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind nichts anderes als Wurzeln. So ist z.B. 8 hoch 1/3 die dritte Wurzel aus acht, das ergibt 2. Man kann sie bei den meisten Taschenrechnern mit der Taste y hoch x ausrechnen (Taste drücken, (1/3) eingeben --> entweder kommt dann bereits das Ergebnis oder die = -Taste drücken). Manche Rechner haben auch die Taste y hoch 1/x. Dann geht es so: Taste drücken, 3 eingeben, anschließend in der Regel die =-Taste drücken. Ein zweites Beispiel erweitert das Ganze: 8 hoch 2/3 ist die dritte Wurzel aus 8 hoch 2, also die dritte Wurzel aus 64, ergibt 4.
Viele Grüße
funnyjonny
hallo danny96
grundsätzlich musst du wissen, dass es zu jeder Rechenoperation eine Gegenrechenoperation gibt, die sie wieder rückgägngig macht. Beispiel +2 -> Gegenrechenoperation - 2 hebt das wieder auf
gebrochener Exponent - dazu musst du Brüche wiederholen und sie mit Potenzen und Potenzgesetzen kombinieren
beispiel a^2 quadriert eine Zahl - jetzt brauchen wir eine Rechenoperation, die a^2 wieder rückgägngig macht
a^(2*(1/2)) weil a^1 = a
somit macht * Bruch 1/2 im Exponenten das Quadrieren rückgängig.
Du kennst sicher das Rechenzeichen Wurzel (square auf engl) das ist eine andere Schreibweise für hoch 1/2
also versteckt sich hinter einer gebrochen rationalen Zahl eigendlich zwei Rechenoperationen
Besonders wenn Nenner und Zähler des Bruches im Exponenten nicht identisch sind
3^(5/7) heißt potenziere erst die 3 hoch 5, dann ziehe die 7te Wurzel aus dem Ergebnis - das wars
im Prinzip macht sowas der Taschenrechner. Du solltest dir einfach die Potenzgesetze ( wann wird der Exponent addiert, wann multipliziert) noch mal anschauen, und ganz wichtig: wie verwandle ich eine Kommazahl in Bruchstrichschreibweise und umgekehrt)
Taschenrechnereinstellung a ^( 5/7) Klammer nicht vergessen!
hoffe ich konnte dir weiterhelfen : ))
nicht aufgeben - einfach ein paar Beispiele rechnen
Hallo Danny,
ich komme gerade erst zurück von einer Reise und vermute, dass Du schon eine Antwort bekommen hast.
Ich kann Deiner Anfrage leider nicht entnehmen, was Du denn berechnen willst. Das könnte der Wert einer Zahl mit gebrochenem Exponenten sein, also z. B. 4^3/2 = 8. Oder willst Du wissen, wie man zwei gleiche Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten multipliziert? Also a^4/3 * a^-3/4 = a^(4/3 - 3/4) = a^7/12 .
Noch was?
Michael.
Gib das Ding einfach so in den Taschenrechner ein, wie es da steht (Klammer um Exponentenbruch nicht vergessen).
z.B.: 250 ^ (2/3) eintippen: 250 ^ ( 2:3) =
ergebnis: 39,6850263 (gerundet)
oder als Wurzel; dabei muss man wissen:
x ^ (a/b) = „b.Wurzel aus x hoch a“
lässt sich hier nicht gut schreiben.
diese Version kannst du auch in den TR eintippen, sollte das gleiche rauskommen.
Nur in einigen günstigen fällen läßt sich das im Kopf ausrechnen, nämlich, wenn eine natürliche Zahl herauskommt; meistens muss man dann erst die Umwandlungsformel anwenden, damit man die Lösung „sieht“.
Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.
frank
Man betrachtet die Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen wie Brüche Potenzen werden multipliziert indem man die Brüche addiert( Hauptnenner!) Potenzen werden potenziert indem man die Hochzahlen multipliert also Brüche multiplizieren
Gruß Werner Kappallo
Hey,
Es tut mir leid, dass ich jetzt erst antworte. Bzw ich denke mal das eine Antwort mittlerweile überflüssig ist?! Wenn nicht dann kann ich mir das gerne nochmal genauer anschauen.
LG M3l