Wer weiß Folgendes:
Ich habe eine Gerade, die Tangente von zwei Kreisen K und L ist. Die Berührungspunkte sind A und B. Diese Tangente schneidet die Potenzgerade p (Chordale) der Kreise in einem Punkt S.
Kreis K hat den Mittelpunkt M1 und den Radius r1.
Kreis L hat den Mittelpunkt M2 und den Radius r2.
Die Potenzgerade p ist die Menge aller Punkte P mit IM1)I^2-r1^2 = IM2PI^2 - r2^2
Ich möchte zeigen, dass die entstehenden Tangentenabschnitte von den Berührungspunkten zu dem Schnittpunkt gleich sind, also IASI = BS)
Hat jemand eine Beweisidee oder einen Beweis?
Herzliche Grüße
Catrin
Ich notier diese Gleichung mal etwas lesbarer:
(1) |M1P|² - r1² = |M2P|² - r2²
Das gilt dann insbesondere für S, da S ja auf der Chordale liegt:
(2) |M1S|² - r1² = |M2S|² - r2²
Nun ist per def. ∠SAM1 = 90°, mit |AM1| = r1
ebenso ∠SBM2 = 90°, mit |BM2| = r2
⇒ („Pythagoras“!):
|M1S|² - |AM1|² = |AS|²
und
|M2S|² - |BM2|² = |BS|²
Gl. (2) schreibt sich somit:
|M1S|² - |AM1|² = |M2S|² - |BM2|²
oder
|AS|² = |BS|²
⇒ |AS| = |BS| q.e.d.
Gruß
Metapher
Danke, liebe(r) Metapher, so hab ich es auch grad aufgelöst. Eigentlich ist es so einfach, aber man starrt auf seine Skizze und sieht manchmal das Naheliegende nicht.
Herzliche Grüß
Catrin
1 „Gefällt mir“
addendum
Im Übrigen ist es ja gerade die Definition der „Potenz“ π(S) eines Punktes S zu einem Kreis {M,r}: Sie ist das Quadrat seines Tangentialabstands |ST|² = |MS|² - r² = π(S) = |MS|² - |MT|². Liegt S also per def. auf der Potenzgeraden zweier Kreise {M1, r1} und {M2, r2}, also π1 = π2, dann folgt daraus unmittelbar |ST1|² = |ST2|²
Ja, genau. Danke