Wer weiß Folgendes:
Ich habe eine Gerade, die Tangente von zwei Kreisen K und L ist. Die Berührungspunkte sind A und B. Diese Tangente schneidet die Potenzgerade p (Chordale) der Kreise in einem Punkt S.
Kreis K hat den Mittelpunkt M1 und den Radius r1.
Kreis L hat den Mittelpunkt M2 und den Radius r2.
Die Potenzgerade p ist die Menge aller Punkte P mit IM1)I^2-r1^2 = IM2PI^2 - r2^2
Ich möchte zeigen, dass die entstehenden Tangentenabschnitte von den Berührungspunkten zu dem Schnittpunkt gleich sind, also IASI = BS)
Hat jemand eine Beweisidee oder einen Beweis?
Herzliche Grüße
Catrin
Ich notier diese Gleichung mal etwas lesbarer:
(1) |M1P|² - r1² = |M2P|² - r2²
Das gilt dann insbesondere für S, da S ja auf der Chordale liegt:
(2) |M1S|² - r1² = |M2S|² - r2²
Nun ist per def. ∠SAM1 = 90°, mit |AM1| = r1
ebenso ∠SBM2 = 90°, mit |BM2| = r2
⇒ („Pythagoras“!):
|M1S|² - |AM1|² = |AS|²
und
|M2S|² - |BM2|² = |BS|²
Gl. (2) schreibt sich somit:
|M1S|² - |AM1|² = |M2S|² - |BM2|²
oder
|AS|² = |BS|²
⇒ |AS| = |BS| q.e.d.
Gruß
Metapher
Danke, liebe® Metapher, so hab ich es auch grad aufgelöst. Eigentlich ist es so einfach, aber man starrt auf seine Skizze und sieht manchmal das Naheliegende nicht.
Herzliche Grüß
Catrin
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addendum
Im Übrigen ist es ja gerade die Definition der „Potenz“ π(S) eines Punktes S zu einem Kreis {M,r}: Sie ist das Quadrat seines Tangentialabstands |ST|² = |MS|² - r² = π(S) = |MS|² - |MT|². Liegt S also per def. auf der Potenzgeraden zweier Kreise {M1, r1} und {M2, r2}, also π1 = π2, dann folgt daraus unmittelbar |ST1|² = |ST2|²
Ja, genau. Danke