Potenzmengen, bijektive Abbildungen

Wissenschaft Mathematik
#1

Also hab hier ne Aufgabe: Sei M eine beliebige Menge und 2^M ihre Potenzmenge. Zeigen Sie: Es existiert keine bijektive Abbildung zwischen M und 2^M.

Eigentlich ist die Aufgabe nicht schwer, dachte ich und ich hab hier auch eine Lösung: Und zwar…ist die Menge der Abbildungen ja bei M der Betrag von M und bei der Potenzmenge zwei hoch der Betrag von M. Und damit gäbe es immer weniger Abbildungen von M als von der Potenzmenge…
allerdings würde dies nur für endliche Mengen gelten und die Aufgabe ist für beliebige mengen gestellt…kann man die Aufgabe dann trotzdem so lösen oder anders? 

Wäre echt dankbar für ne Hilfe!

#2

Hallo,

ich denke, du bist schon auf dem richtigen Weg.
Du könntest ja damit anfangen, die Elemente von M abzubilden. Am einfachsten durch:
m \in M \mapsto {m} \in 2^M
Damit hast du eine injektive Abbildung auf M definiert, denn die Elemente werden offensichtlich auf jeweils unterschiedliche Elemente abgebildet.
Allerdings bleiben in der Potenzmenge immer Elemente übrig, die kein Urbild haben (z.B. in jedem Fall die leere Menge). Damit ist gezeigt, dass die Potenzmenge immer größer als die zugrunde liegende Menge ist.

Nico

#3

Hallo,

Damit ist gezeigt, dass die Potenzmenge immer größer als die zugrunde liegende Menge ist.

nein, so einfach ist das leider nicht abzuhandeln. Es geht hier im Grunde genommen nur darum, ob die Behauptung auch im Fall einer unendlichen Menge zutrifft, denn – wie szanne schon richtig erkannt hat – ist für endliche Mengen die Sache klar. Die Richtigkeit der Behauptung für unendliche Mengen zu beweisen ist alles andere als trivial.

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor

Gruß
Martin

#4

Hallo Martin,

nein, so einfach ist das leider nicht abzuhandeln.

Wirklich nicht? Wenn ich eine beliebige injektive Abbildung von A nach B definiere und ich in B ein Element finde, dass in dieser Abbildung kein Urbild hat, dann kann ich doch mit Sicherheit sagen, dass die Menge B mindestens ein Element mehr enthält als die Menge A. Egal ob die Mengen unendlich sind oder nicht.

Nico

#5

Hallo Nico,

nach Deiner Argumentation müsste dann auch die unendliche Menge {4, 5, 6, 7, 8, …} ein Element mehr enthalten als die unendliche Menge {5, 6, 7, 8, 9, …} – richtig? Und willst Du daraus schlussfolgern, dass zwischen diesen beiden Mengen keine bijektive Abbildung existieren kann?

Gruß
Martin

#6

nach Deiner Argumentation müsste dann auch die unendliche
Menge {4, 5, 6, 7, 8, …} ein Element mehr enthalten als die
unendliche Menge {5, 6, 7, 8, 9, …} – richtig?

Nein, natürlich nicht. Eine injektive Funktion wäre ja n -> n+1. Und für diese Funktion gibt es kein Element der Zielmenge, das kein Urbild hat.
Allerdings sehe ich da gerade selbst einen Haken. die Funktion n -> 2 * n wäre ja genauso injektiv, aber nicht surjektiv. Na gut, dann muss man die Nichtexistenz der surjektiven Abbildung doch etwas umständlicher beweisen.