Potenzreihe entwickeln!

[RSS88]

Hallo,

folgende Aufgabe:

„Die Funktion f(x) = (x+1) / 4 ist in eine Potenzreihe mit der Entwicklungsmitte um den Ursprung bis zur dritten Ordnung zu entwickeln. 
(Man vergleiche für x = 0,1 den exakten Wert mit dem Näherungswert der Potenzreihe.)“

Mir ist bekannt, dass man eine Potenzreihe mit Hilfe der Taylor-Reihe aufstellt:

f(0) + f’(0) x + (f’’(0) / 2!) x² + (f’’’(0) / 3!) x³

Ich denke „bis zur dritten Ordnung“ bedeutet bis zur dritten Ableitung, richtig?

Nun bilde ich die Ableitungen der Funktion und setze sie für f’, f’’ und f’’’ ein. 

Abschließend erhalte ich durch berechnen und vereinfachen die fertige Taylorreihe, korrekt?

Mir fällt es hier allerdings sehr schwer, die Ableitungen zu bilden. Die Ableitung zu x+1 wäre ja 1 / (2 * x+1 ). Was mache ich aber mit der 4? Kann ich hier separiert im Vorfeld die Wurzel der 4 ziehen? Dann würde nur noch der Zähler in der Wurzel stehen und im Nenner hätte ich die 2. Wie leite ich dann allerdings korrekt ab?

Wenn ich daran denke, dann die nächsten zwei Ableitungen zu bilden, grauts mir.

Ich hoffe auf Tipps und Hilfestellungen, gerade bezüglich der Ableitungen. Ich habe mir diverse Ableitungsregeln angesehen, allerdings erscheint diese Funktion mir recht komplex. (Mir zumindest)

Vielen Dank im Voraus!

Mit schönem Gruß

Reiner

P.S.: Falls jemand weiß, wie ich hier im Forum einen Wurzeltherm besser darstellen kann, kann mir gerne helfen.

[Martin]

Hallo,

eine Antwort, mit der ich genug Raum zum Nachdenken lassen willt:

x^{\frac{1}{2}}
\rhd
\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}
\rhd
-\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}}
\rhd
\frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}}
\rhd
-\frac{15}{16} x^{-\frac{7}{2}}
\rhd
\frac{105}{32} x^{-\frac{9}{2}}

Was bedeuten die kleinen nach rechts zeigenden Dreiecke?

Was passiert, wenn Du alle x durch (x + 1) ersetzt?

Welchen Sinn hat es, die Ableitungskette mit (x + 1) statt x aufzuschreiben?

Wie hoch ist der Rechenaufwand, um die interessierenden Funktionswerte herauszubekommen?

Selbstverständlich ist \sqrt{\frac{x+1}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{x+1}. Was tut man am besten mit konstanten Vorfaktoren wie hier dem 1/2?

Wie leite ich dann allerdings korrekt ab?

Leite ab, wie Du willst, aber nicht nach der Quotientenregel, wenn’s irgendeine Alternative gibt. Letzteres trifft hier glücklicherweise zu. Wie man es schlau macht, steht ganz oben.

Abschließend erhalte ich durch berechnen und vereinfachen die fertige Taylorreihe, korrekt?

Ja, das funktioniert wirklich so… smile

Ich denke „bis zur dritten Ordnung“ bedeutet bis zur dritten Ableitung, richtig?

So ist es.

Have a lot of fun!

Gruß
Martin

[Zwergenbrot]

Hallo,

die Antwort ist ja schon gegeben, deshalb nur ein Feedback zum PS:

P.S.: Falls jemand weiß, wie ich hier im Forum einen
Wurzeltherm besser darstellen kann, kann mir gerne helfen.

hier hilft Latex (siehe link "Hilfe zur Latex Benutzung unter dem Artikelfenster, bzw. hier:
http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/classic?entries…)

Der Code für
\sqrt{ \frac{x+1}{4} } sieht z.B. so aus: \sqrt{ \frac{x+1}{4} }

Beste Grüße
Zwergenbrot

[Goldmarie]

Hallo Reiner,

zur Schreibweise schlage ich vor: sqr((x+1)/4)

Ansonsten noch ein heißer Tipp: www.ableitungen.net

Viele Grüße
Maria

[RSS88]

Formel: x^{\frac{1}{2}} \rhd \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \rhd -\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}} \rhd \frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}} \rhd -\frac{15}{16} x^{-\frac{7}{2}} \rhd \frac{105}{32} x^{-\frac{9}{2}}

Was bedeuten die kleinen nach rechts zeigenden Dreiecke?

Von links nach rechts werden jeweils die Ableitungen gebildet.

Was passiert, wenn Du alle x durch (x + 1) ersetzt?

Welchen Sinn hat es, die Ableitungskette mit (x + 1) statt x aufzuschreiben?

Die 1 fällt ohnehin bei den Ableitungen weg, somit ist es überflüssig, sie bei der Ableitungskette zu berücksichtigen.

Nachdem ich nun also die Funktion umgeformt habe:

f(x) = 1/2 x ^1/2 + 1

Konnte ich die Ableitungen bilden:

f’(x) = 1/4 x ^-1/2
f’’(x) = -1/8 x ^-3/2
f’’’(x) = 3/16 x ^-5/2

Diese habe ich in die Taylor-Reihe eingesetzt und erhalte:

f(x) = 0

Korrekt?

Schönen Gruß

Reiner

PS: Ich bitte um Nachsehen, dass ich erst so spät antworte, war die letzten Tage verhindert.

[RSS88]

Zunächst vielen Dank!

Habe mir umgehend das Programm besorgt um zunächst nichts damit anfangen zu können. Es scheint mir noch sehr komplex… auch nach einem kurzen durchfliegen von youtube-Tutorials kam ich noch nicht allzu weit. Muss mir wohl mal 1-2 Tage dafür nehmen um mich in das Programm reinzuarbeiten.

Das Programm was ich benutze heißt „Texmaker“

[Martin]

Hallo,

hier ein paar Erklärungen.

Von links nach rechts werden jeweils die Ableitungen gebildet.

richtig: Das, was rechts von einem Dreieck steht, ist die Ableitung dessen, was links davon steht.

Was passiert, wenn Du alle x durch (x + 1) ersetzt?

Schreib mal die Ableitungskette unter Anwendung dieser Ersetzungsvorschrift auf.

Die 1 fällt ohnehin bei den Ableitungen weg, somit ist es
überflüssig, sie bei der Ableitungskette zu berücksichtigen.

Vom Gedanken her stimmt es, aber in einem etwas anderen Sinn, als Du meinst. Die Funktion \frac{1}{2} \sqrt{x + 1} ist gegenüber der Funktion \frac{1}{2} \sqrt{x} nicht um 1 nach oben (d. h. in y-Richtung) verschoben, sondern um 1 nach links (d. h. in x-Richtung).

Nachdem ich nun also die Funktion umgeformt habe:
f(x) = 1/2 x ^1/2 + 1

Haaaalt! Das ist nicht die ursprüngliche Funktion!

\frac{1}{2} \sqrt{x + 1} = \frac{1}{2} (x + 1)^\frac{1}{2}

Es ist ja ein Unterschied, ob Du in einem Funktionsterm alle „x“ mit einem „+ 1“ beaufschlagst, oder ob Du den ganzen Term mit einem „+ 1“ versiehst. Bitte klarmachen, das ist wichtig!

Konnte ich die Ableitungen bilden:

f’(x) = 1/4 x ^-1/2
f’’(x) = -1/8 x ^-3/2
f’’’(x) = 3/16 x ^-5/2

Wie gesagt, Du hast die Ableitungen einer Funktion gebildet, die von der ursprünglichen Funktion abweicht. Trotzdem stimmen die Ableitungen fast! Vielleicht kannst Du selbst herausfinden, was wie zu modifizieren ist (wo müssen die „+ 1“ hin?).

Diese habe ich in die Taylor-Reihe eingesetzt und erhalte f(x) = 0 Korrekt?

Naja, dass das kaum stimmen wird, kann man ja schon ahnen. Du hast die Lösung aber nur knapp verfehlt. Versuch Dich an den nötigen Korrekturen.

Gruß
Martin

[RSS88]

Zunächst vielen Dank! Viele Tipps und Korrekturen dabei, sehr hilfreich!

Meine Ableitungen sehen nun wie folgt aus:

f’(x) = 1/4 * (x+1)^ -1/2
f’’(x) = -1/8 * (x+1)^ -3/2
f’’’(x) = 3/16 * (x+1)^ -5/2

Diese in die Taylorreihe eingefügt, erhalte ich:

1/2 + 1/4 - 1/16 + 1/32 = 23/32 ~ 0,72

Korrigiere mich bitte, sollte ich erneut Fehler begangen haben.

Schönen Gruß

Reiner

[Martin]

Hallo,

f’(x) = 1/4 * (x+1)^ -1/2
f’’(x) = -1/8 * (x+1)^ -3/2
f’’’(x) = 3/16 * (x+1)^ -5/2

ja, jetzt passt es.

Diese in die Taylorreihe eingefügt, erhalte ich:

1/2 + 1/4 - 1/16 + 1/32 = 23/32 ~ 0,72

Auch das ist richtig. Um die Güte der Näherung beurteilen zu können, solltest Du aber auch noch f(1) ausrechnen. Dann kannst Du sogar den relativen Fehler angeben (≈1.6 %). Und nach der Stelle 0 war in der Aufgabenstellung auch noch gefragt. Dort haben natürlich alle Taylorpolynome exakt den Wert f(0), weil’s ja die Entwicklungsstelle ist.

Korrigiere mich bitte, sollte ich erneut Fehler begangen haben.

Man kann bei dieser Aufgabe eigentlich nur einen bösen Fehler machen, und das ist, über die Quotientenregel abzuleiten. Selbstverständlich käme man auch so zu der korrekten Lösung, nur ist dieser Weg mühselig und ineffizient.

Am allercleversten ist es übrigens, die Aufgabe einfach für die Funktion \sqrt{x+1} zu lösen, also dem Vorfaktor 1/2 gar keine Beachtung zu schenken. Wozu auch? Er tut ja nix, außer sich neutral durch alle Ableitungen hindurchzuerhalten. Verstehst Du, dass es keinerlei Problem mit sich bringt, diesen doofen Vorfaktor zu ignorieren? Es ist mathematisch völlig in Ordnung, bei Bedarf erst ganz am Schluss die Ergebnisse wieder damit zu beaufschlagen. Wenn Du Zweifel hast, empfehle ich Dir, die Aufgabe tatsächlich mal für \sqrt{x+1} (mit schwarzem Stift) zu lösen, und anschließend (mit rotem Stift) diese Lösung zu jener für die ursprüngliche Funktion \frac{1}{2} \sqrt{x+1} zu „korrigieren“. Du wirst dann merken, dass das eine völlig banale und anspruchslose Aufgabe ist, weil Du nur an viele Stellen 1/2 (…) schreiben musst (wo diese Stellen sind, ist offensichtlich).

Das heißt: Wenn Du die Aufgabe für \sqrt{x+1} gelöst hast, dann hast Du sie automatisch auch für \frac{1}{2} \sqrt{x+1} und für \frac{7}{9} \sqrt{x+1} und für \frac{1}{1000} \sqrt{x+1} und für 3825 \sqrt{x+1} und für jedes beliebige Vielfache der Funktion \sqrt{x+1} gelöst. Das ist eine tiefe und bedeutende Erkenntnis, aus der man vielfachen Nutzen ziehen kann. Wenn Du verstanden hast, dass man solche Vorfaktoren wie hier das 1/2 einfach ignorieren darf und sollte, statt sie stumpfsinnig durch eine ganze Rechnung hindurch mitzuschleppen (unnötige Schreibarbeit bei Null Nutzen), dann hast Du aus dieser Aufgabe wirklich etwas mitgenommen.

Gruß
Martin

[RSS88]

Wunderbar! Vielen Dank für die weiteren Tipps und die ausführliche Erklärung!

Abschließend:

(Man vergleiche für x = 0,1 den exakten Wert mit dem Näherungswert der Potenzreihe.)

Diese Zusatzaufgabe, wie ist dies gemeint? Setze ich in der Taylorreihe anstatt

f(0) + f’(0) x + (f’’(0) / 2!) x2 + (f’’’(0) / 3!) x3

einfach

f( 0,1 ) + f’( 0,1 ) x + (f’’( 0,1 ) / 2!) x2 + (f’’’( 0,1 ) / 3!) x3

ein und rechne dann aus? Oder bin ich da auf dem Holzweg?

Schönen Gruß und 1000 Dank!

Reiner

[Martin]

(Man vergleiche für x = 0,1 den exakten Wert mit dem Näherungswert der Potenzreihe.)

f( 0,1 ) + f’( 0,1 ) x + (f’’( 0,1 ) / 2!) x2 + (f’’’( 0,1 ) / 3!) x3

ein und rechne dann aus? Oder bin ich da auf dem Holzweg?

Holzweg. Du hast doch die TE (Taylorentwicklung) ausgerechnet:

t_3(x) = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x^3

ist das Dritte-Ordnung-TE-Polynom der Funktion f(x) = \sqrt{x+1}

(Wie Du davon zur TE von 1/2 √(x + 1) kommst, sollte klar sein.)

Jetzt sollst Du einmal t₃(0.1) ausrechnen, und einmal f(0.1) und beides miteinander vergleichen. Wenn Du fleißig bist, kannst Du natürlich auch noch t₁(0.1) und t₂(0.1) ausrechnen, denn die Polynome kennst Du ja automatisch auch. Du siehst dann, dass die Taylornäherung mit steigender Ordnung immer besser wird. Desgleichen je näher Du an den Entwicklungspunkt (hier 0) rückst – bei 0.01 statt 0.1 wird also auch nochmal alles besser. Falls Du z. B. Excel oder eine andere Tabellenkalkulation beherrschst, kannst Du Dich da richtig austoben. Oder alternativ gleich einen Funktionenplotter mit f und den Taylorpolynomen füttern; das ist dann das Nonplusultra an visuellem Erfolgserlebnis sozusagen

Martin

[RSS88]

Du bist eine Riesenhilfe! Dankeschön!

Jetzt sollst Du einmal t3(0.1) ausrechnen, und einmal f(0.1)

t₃(0,1) = 0,52440625

f(0,1) = 0,5244044241

und beides miteinander vergleichen.

Ist dies somit getan?

Schönen Gruß

Reiner

[Martin]

und beides miteinander vergleichen.

Ist dies somit getan?

Keine Ahnung, was mit „vergleichen“ hier verlangt ist (vielleicht gibt es in Deinem Aufgabenbuch irgendwo am Anfang ein paar generelle Hinweise, wo das dann erklärt ist?) Man könnte sagen, es ist offensichtlich, dass die Näherung ziemlich gut ist. Wem das zu vage ist, sollte einfach den relativen Fehler ausrechnen:

\frac{t_3(0,1)}{f(0.1)}-1 \approx 3.48 \cdot 10^{-6} \approx 0.000348 :%

Martin