Hi,
na erlösen wir dich mal!
Die Nutzenfunktion lautet:
U\left(x_1,x_2\right)=p_1*U(x_1)+p_2*U(x_2)
bilden wir hiervon das totale Differential, so erhalten wir:
dU\left(x_1,x_2\right)=p_1*\frac{\partial U(x_1)}{\partial x_1}\cdot dx_1+p_2*\frac{\partial U(x_2)}{\partial x_2}\cdot dx_2
Nun überlegen wir, was die Grenzrate der Substitution aussagt. Sie sagt aus: In welchem Verhältnis ist eine Individuum bereit, das eine Gut gegen das andere Gut zu tauschen. Und es ist gerade dann dazu bereit, wenn sich der NUTZEN NICHT ÄNDERT, er sich also mindestens nicht schlechter stellt. DAS ist der Schlüssel. Da bedeutet, der Nutzen ist konstant! Also dU=0.
0=p_1*\frac{\partial U(x_1)}{\partial x_1}\cdot dx_1+p_2*\frac{\partial U(x_2)}{\partial x_2}\cdot dx_2
Und wir stellen um, und erhalten:
\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{p_1}{p_2}\cdot\frac{\frac{\partial U(x_1)}{\partial x_1}}{\frac{\partial U(x_2)}{\partial x_2}}
Aus der Aufgabenstellung wissen wir:
Die Grenzrate der Substitution an der Stelle (x1,x2)=(4,4) ist -0.3
Und wir wissen, dass die Stelle (4,4) ist! Da wir die gleiche Nutzenfunktion unterstellen gilt natürlich U(4)=U(4), und der Grenznutzen für x_1 und x_2 ist an der Stelle gleich.
Also:
\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{p_1}{p_2}=-0.3
Beachtet man nun noch die Gegenwahrscheinlichkeiten, dann erhält man:
-\frac{p_1}{1-p_1}=-0.3
Man stellt um und erhält:
p_1=0.3-0.3\cdot p_1
Man löst auf:
p_1=\frac{3}{13}
Und fertig. Nun kannst du zur Kontrolle das gleiche mit x_2 machen und es sollte 10/13 rauskommen.
lg
