Primzahlen und Teilbarkeit

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

z. Zt. grüble ich an einer Aufgabe, komme aber nicht weiter. Vielleicht hat jemand von euch einen Tipp, wie ich da weitermachen kann.

Also: p,q sind Primzahlen, beide >=5. Jetzt möchte ich zeigen, dass dann immber

24 teil (p^2-q^2) gilt.

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

Ist p=q, dann ist (p^2-q^2) = 0 und durch 24 teilbar.

Also kann ich annahmen, dass p>q ist (sonst könnte ich die Bezeichungen tauschen).

Dann habe ich umgeformt: p^2-q^2 = (p+q)*(q-q)

Ich habe mir überlegt, dass 2*2*2*3 die Primfaktorenzerlegung von 24 ist, und diese also in p^2-q^2 enthalten sein muss.

Da sowohl (p+q) als auch (p-q) gerade sind, kann ich schon mal zeigen, dass 2*2 enthalten ist.

Ich habe nur im Moment keine Idee, wie ich zeige, dass auch noch 2*3 enthalten ist.

Hat da jemand einen Tipp für mich?

Grüße

powerblue

#2

Hi,

benutze, dass Primzahlen größer 3 die Form 6k-1 oder 6k+1 haben.

Die einfachere Aufgabe lautet zu zeigen, dass p^2-1 durch 24 teilbar ist, wegen (p^2-1)-(q^2-1)=p^2-q^2 folgt daraus die Aufgabe.

Gruß, Lutz

#3

Hi,

danke für den Tipp

benutze, dass Primzahlen größer 3 die Form 6k-1 oder 6k+1
haben.

Erstaunliche Weise steht das nicht bei uns im Skript. Muss ich also erst beweisen, bevor ich es benutze, das bekomme ich aber hin.

Grüße

powerblue

#4

Erstaunliche Weise steht das nicht bei uns im Skript. Muss ich
also erst beweisen, bevor ich es benutze, das bekomme ich aber
hin.

Hallo,

dabei hilft z.B. das Sieb des Erathostenes mit 6 Spalten.

Gruß,

hendrik

#5

Hi,

6k±1 braucht man aber nicht wirklich.

von den drei Zahlen p-1,p,p+1 mit p ungerade ist immer eine durch 3, eine durch 2 und eine andere durch 4 teilbar. Da p>3 prim ist, kommt p jeweils dafür nicht in Frage.

Gruß, Lutz

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#6

Hallo,

6k±1 braucht man aber nicht wirklich.

nur als Ergänzung: Man braucht 6k±1 tatsächlich nicht, jedoch stellt es sich von einer anderen Seite her als nützlich heraus, nämlich dann, wenn man den Beweis per vollständiger Induktion führen möchte (den Induktionsanfang spare ich mir):

\Big(6(k+1) \pm 1\Big)^2 - 1
= …
= (6k \pm 1)^2 - 1 :+: 72 k :+: 36 \pm 12

72 k sowie 36 ± 12 sind evidenterweise durch 24 teilbar und (6k ± 1)² – 1 ist es nach Induktionsvoraussetzung.

Die Aussage „n² – 1 ist teilbar durch 24“ trifft nicht nur auf alle Primzahlen zu, sondern auf alle weder durch 2 noch durch 3 teilbare Zahlen n. Dass die alle die Form 6k ± 1 haben müssen, ist klar, denn 6k, 6k + 2, 6k + 3 und 6k + 4 scheiden aus wegen offensichtlicher Teilbarkeit durch 6 bzw. 2 bzw. 3 bzw. 2.

Gruß
Martin