Problem mit Drehbewegungen

[Manfred_14fab8]

Hallo,
ich habe leider Probleme die Lösung zweier Aufgaben zu verstehen:

1. In welcher Höhe muss eine Billardkugel (mit Radius R) waagerecht angestoßen werden, damit sie von Anfang an - ohne zu gleiten - auf dem Tisch rollt.

Zur Lösung: Der Schläger bewirkt mit seiner Kraft eine Beschleunigung, die dann auch direkt der Rollbedingung genügen muss:
F = m*a = m*R*alpha (alpha ist die Winkelbeschleunigung). Eine zweite Gleichung erhält man für das Drehmoment, die mir auch vollständig klar ist: M= r x F = r*F*sin(theta) = J*alpha
Diese beiden Gleichungen kann man dann verwenden um die Aufgabe zu lösen. Allerdings ist mir die erste Gleichung (und dabei das erste Gleichheitszeichen) nicht klar:
Denn für mich bedeutet das, egal in welcher Höhe ich die Kugel anspiele wird ihr Schwerpunkt mit a beschleunigt. D.h. auch wenn ich sie ganz oben anspiele müsste sie sich doch gleichschnell bewegen?! Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen - ich würde erwarten, dass die Kugel sich dann viel langsammer bewegt und ziemlich viel durchdreht.

2. Ein waagerecht gehaltener dünner Stab (Länge l) wird am linken Ende reibungsfrei gelagert. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung und die auf die linke Aufhängung in dem Augenblick in dem der Stab rechts losgelassen wird.

Lösung: Die Winkelbeschleunigung ist noch sehr einfach: die Schwerkraft greift im Schwerpunkt (also in der Mitte an): M = l/2*m*g = J*alpha.
Mit der Kraft auf die Aufhängung (F_A) habe ich aber Probleme - die Lösung sagt:
m*g+F_A = F_rot = m*a_tangetial = m*alpha*l/2
Für mich ist das eine Kräftebilanz, wobei die linke Seite (m*g+F_A) zusammengefasst werden zu einer resultierenden Kraft F_rot, die (wie man nach dem letzten Gleichheitszeichen sieht) im Schwerpunkt angreifen muss. Mein Problem ist jetzt das ich Kräfte immer so zusammenfassen würde, dass sie zum einen in der resultierenden Richtung übereinstimmen aber auch das gleiche Drehmoment erzeugen. In diesem Fall erzeugen aber meiner Meinung nach die Kräfte auf der linken Seite der Gleichung nicht das gleiche Drehmoment wie die rechte Seite (wenn man als Drehpunkt mal das linke Ende nimmt, fällt der Anteil von F_A ja raus - setzt man dann noch alpha in den rechten Teil ein, merkt man das die Drehmomentbilanz nicht übereinstimmt).

Ich weiß es ist etwas viel aber ich wollte mein Problem lieber genauer erklären bevor man aneinander vorbeiredet.

Vielen Dank auf jeden Fall für eine Antwort,

viele Grüße

Andreas

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

1. In welcher Höhe muss eine Billardkugel (mit Radius R)
   waagerecht angestoßen werden, damit sie von Anfang an - ohne
   zu gleiten - auf dem Tisch rollt.

Zur Lösung: Der Schläger

Bitte sag: „Queue“ (gesprochen: Kö). Einen Schläger verwendet man beim Tennis oder beim Golf.

bewirkt mit seiner Kraft eine
Beschleunigung, die dann auch direkt der Rollbedingung genügen
muss:
F = m*a = m*R*alpha (alpha ist die Winkelbeschleunigung).
Eine zweite Gleichung erhält man für das Drehmoment, die mir
auch vollständig klar ist: M= r x F = r*F*sin(theta) = J*alpha
Diese beiden Gleichungen kann man dann verwenden um die
Aufgabe zu lösen. Allerdings ist mir die erste Gleichung (und
dabei das erste Gleichheitszeichen) nicht klar:
Denn für mich bedeutet das, egal in welcher Höhe ich die Kugel
anspiele wird ihr Schwerpunkt mit a beschleunigt. D.h. auch
wenn ich sie ganz oben anspiele müsste sie sich doch
gleichschnell bewegen?! Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht
vorstellen - ich würde erwarten, dass die Kugel sich dann viel
langsammer bewegt und ziemlich viel durchdreht.

Deine Intuition ist ziemlich nachvollziehbar. Was Du aber außer Acht lässt: Die Beschleunigung a ist nur dann in beiden Fällen gleich, wenn die Kraft auch in beiden Fällen gleich ist. Je weiter exzentrisch Du die Kugel anstößt, umso geringer wird aber der „Widerstand“. (Das ist die Wirkung der Trägheit, die Du wegen actio = reactio beim Stoß sogar direkt spüren kannst. Wenn Du die Mite der Kugel verfehlst, fühlt es sich an, als würdest Du ins Leere stoßen. Folglich ist auch die übertragene Kraft sehr gering).

2. Ein waagerecht gehaltener dünner Stab (Länge l) wird am
   linken Ende reibungsfrei gelagert. Berechnen Sie die
   Winkelbeschleunigung und die auf die linke Aufhängung in dem
   Augenblick in dem der Stab rechts losgelassen wird.

Lösung: Die Winkelbeschleunigung ist noch sehr einfach: die
Schwerkraft greift im Schwerpunkt (also in der Mitte an): M =
l/2*m*g = J*alpha.
Mit der Kraft auf die Aufhängung (F_A) habe ich aber Probleme

• die Lösung sagt:
  m*g+F_A = F_rot = m*a_tangetial = m*alpha*l/2
  Für mich ist das eine Kräftebilanz, wobei die linke Seite
  (m*g+F_A) zusammengefasst werden zu einer resultierenden Kraft
  F_rot, die (wie man nach dem letzten Gleichheitszeichen sieht)
  im Schwerpunkt angreifen muss. Mein Problem ist jetzt das ich
  Kräfte immer so zusammenfassen würde, dass sie zum einen in
  der resultierenden Richtung übereinstimmen aber auch das
  gleiche Drehmoment erzeugen. In diesem Fall erzeugen aber
  meiner Meinung nach die Kräfte auf der linken Seite der
  Gleichung nicht das gleiche Drehmoment wie die rechte Seite
  (wenn man als Drehpunkt mal das linke Ende nimmt, fällt der
  Anteil von F_A ja raus - setzt man dann noch alpha in den
  rechten Teil ein, merkt man das die Drehmomentbilanz nicht
  übereinstimmt).

Die Lösungsstrategie bei derlei Aufgaben ist in der Statik Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht. Das ist aber keine Aufgabe der Statik! Da wird etwas beschleunigt. Deswegen ist logisch, dass Du kein Momentengleichgewicht aufstellen kannst. Stattdessen hast Du netto ein Drehmoment, das eine Drehbeschleunigung α bewirkt.

Die von Dir zitierte Gleichung besagt:

Die Vektorsumme aus Gewichtskraft und Auflagekraft bewirkt eine beschleunigende Kraft (hier F_rot genannt), die nach der Grundgleichung der Mechanik eine Beschleunigung des Schwerpunkts zur Folge hat. Da sich dieser genau auf halber Strecke befindet, gilt

a = α*l/2

Michael

[Manni_1248d3]

Hallo,

1. In welcher Höhe muss eine Billardkugel (mit Radius R)
   waagerecht angestoßen werden, damit sie von Anfang an - ohne
   zu gleiten - auf dem Tisch rollt.

Sie rollt nur, wenn Reibung vorliegt.
Egal in welcher Höhe du die Kugel anstößt: Sie rollt, wenn eine horizontale Kraft oder Kraftkomponente wirkt.
Triffst du aber nicht den Mittelpunkt, wirkt je nach Abstand des Angriffspunktes eine immer kleinere Kraftkomponente.

Zu den anderen Teilen Deiner Frage kommt noch etwas von mir.

Deine Momentengleichung ist nicht ganz richtig. Es fehlt das Moment Reibungswiderstandskraft* Radius.

Gruß:
Manni

[Manfred_14fab8]

Hi, danke für die Antwort.

Deine Momentengleichung ist nicht ganz richtig. Es fehlt das
Moment Reibungswiderstandskraft* Radius.

Das Gelenk soll ja reibungsfrei gelagert sein - oder meinste die Luftreibung? Die entsteht ja erst, wenn sich das Ding bewegt - im Moment des Loslassens ist sie ja noch null, oder nicht?

Viele Grüße

Andreas

[Manfred_14fab8]

Hallo, vielen Dank für die Erklärungen, ich denke jetzt habe ich es verstanden.

Bitte sag: „Queue“ (gesprochen: Kö). Einen Schläger verwendet
man beim Tennis oder beim Golf.

läuft^^

Deine Intuition ist ziemlich nachvollziehbar. Was Du aber
außer Acht lässt: Die Beschleunigung a ist nur dann in beiden
Fällen gleich, wenn die Kraft auch in beiden Fällen gleich
ist. Je weiter exzentrisch Du die Kugel anstößt, umso geringer
wird aber der „Widerstand“. (Das ist die Wirkung der Trägheit,
die Du wegen actio = reactio beim Stoß sogar direkt spüren
kannst. Wenn Du die Mite der Kugel verfehlst, fühlt es sich
an, als würdest Du ins Leere stoßen. Folglich ist auch die
übertragene Kraft sehr gering).

Also müsste man Korrekterweise F(h), a(h) und alpha(h) schreiben?

Viele Grüße

Andreas

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

1. In welcher Höhe muss eine Billardkugel (mit Radius R)
   waagerecht angestoßen werden, damit sie von Anfang an - ohne
   zu gleiten - auf dem Tisch rollt.

Sie rollt nur, wenn Reibung vorliegt.

Ach Manni, hatten wir das nicht alles schon einmal?

Eine Kugel kann auch auf reibungsfreier Unterlage rollen, und zwar genau dann, wenn die Umfangsgeschwindigkeit der Kugel gleich ihrer translatorischen Geschwindigkeit ist. Genau dieser idealisierte Fall ist es, nach dem hier gefragt wird.

Egal in welcher Höhe du die Kugel anstößt: Sie rollt, wenn
eine horizontale Kraft oder Kraftkomponente wirkt.

Da die Kugel horizontal angestoßen wird, wirkt immer eine horizontale Kraftkomponente.

Deine Momentengleichung ist nicht ganz richtig. Es fehlt das
Moment Reibungswiderstandskraft* Radius.

Wenn man von dem Idealfall der Reibungsfreiheit ausgeht, lässt man diese Komponente weg.

Ich würd’s so machen:

ΔL = r * Δp

Horizontalgeschwindigkeit: Δv = Δp/m

Umfangsgeschwindigkeit: Δv = R * Δω = R * ΔL/J = R * r * Δp/J

Gleichsetzen: Δp/m = R * r Δp/J

r = J / (m * R) = 2/5 m R² / (m * R) = 2/5 R

(r: Angriffspunkt des Queues, R: Radius der Kugel, J: Trägheitsmoment, p: Impuls, L: Drehimpuls, usw.)

Man muss die Kugel also um 2/5 des Radius oberhalb der Mitte (bzw. um 7/10 des Durchmessers über dem Tisch) anspielen, damit sie sauber rollt. Übrigens: Das will man beim Billard gar nicht. Bis zum ersten Kontakt ist es meistens normal, dass die Kugel mehr rutscht als rollt.

Michael

[Manni_1248d3]

Hallo Andreas,

Das Gelenk soll ja reibungsfrei gelagert sein - oder meinste
die Luftreibung? Die entsteht ja erst, wenn sich das Ding
bewegt - im Moment des Loslassens ist sie ja noch null, oder
nicht?

Das gehörte noch zur Kugel, nicht zum Hebel.
Sy, wenn ich mich da unklar ausdrückte.

Gruß:
Manni

[Manni_1248d3]

Hallo,

Sie rollt nur, wenn Reibung vorliegt.

Ach Manni, hatten wir das nicht alles schon einmal?

Hatten wir schon mal.
Aber weshalb sollte die Kugel denn ohne Reibung überhaupt eine Umfangsgeschwindigkeit annehmen (wenn die Kraftwirkung durch den Kugelschwerpunkt geht)?
Du bist uneinsichtig und ich vertraue meinem Dynamik- Buch mehr als Dir.

Eine Kugel kann auch auf reibungsfreier Unterlage rollen, und
zwar genau dann, wenn die Umfangsgeschwindigkeit der Kugel
gleich ihrer translatorischen Geschwindigkeit ist. Genau
dieser idealisierte Fall ist es, nach dem hier gefragt wird.

Dann zeig doch mal, wo der OP Reibungsfreiheit voraussetzte.

Egal in welcher Höhe du die Kugel anstößt: Sie rollt, wenn
eine horizontale Kraft oder Kraftkomponente wirkt.

Da die Kugel horizontal angestoßen wird, wirkt immer eine
horizontale Kraftkomponente.

Deine Momentengleichung ist nicht ganz richtig. Es fehlt das
Moment Reibungswiderstandskraft* Radius.

Wenn man von dem Idealfall der Reibungsfreiheit ausgeht, lässt
man diese Komponente weg.

Von Reibungsfreiheit war nicht die Rede.

gar nicht. Bis zum ersten Kontakt ist es meistens normal, dass
die Kugel mehr rutscht als rollt.

Da bin ich aber platt. Hast Du seinerzeit bei dem Thema „Bowlingkugel“ das anfängliche Rutschen nicht ausgeschlossen? Vllt. irre ich mich. Ich bin aber zu faul, im Archiv nachzuschauen.

Gruß:
Manni

[Manni_1248d3]

Hallo,

Die Lösungsstrategie bei derlei Aufgaben ist in der Statik
Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht. Das ist aber
keine Aufgabe der Statik! Da wird etwas beschleunigt. Deswegen
ist logisch, dass Du kein Momentengleichgewicht aufstellen
kannst. Stattdessen hast Du netto ein Drehmoment, das eine
Drehbeschleunigung α bewirkt.

Auch diese Aufgabe (Suche nach d. Auflagekraft im Drehpunkt)kann
nach den Regeln der Staik gelöst werden, obwohl eine Beschleunigung vorliegt:

„Freimachen“ des Körpers.
Eintragen a l l e r Kräfte und Momente, so dass Gleichgewicht herrscht.
Summe X = 0
Summe y = 0
Summe M = 0
Dann kannst Du die Auflagerkraft errechnen.
Ohne Zweifel gibt es ja eine Kraft im Lagerpunkt.

@Andreas: Falls Du die Lösungen mit der Kugel und dem Stab haben möchtest, gib mir über W-W-W Deine E- Mail- Adresse.
Ich maile sie Dir dann, da ich hier im Forum bei dieser Aufgabe keine Lust mehr habe, mich immer mit denselben „Argumenten“ (wann/weshalb rollt eine Kugel) auseinander zu setzen.

Gruß:
Manni

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Aber weshalb sollte die Kugel denn ohne Reibung überhaupt eine
Umfangsgeschwindigkeit annehmen (wenn die Kraftwirkung durch
den Kugelschwerpunkt geht)?

Die Frage war, wo die Kugel angespielt werden muss. Also geht die Kraftwirkung offensichtlich nicht durch den Kugelschwerpunkt.

Dann zeig doch mal, wo der OP Reibungsfreiheit voraussetzte.

Wo wurde die Reibung ins Spiel gebracht?

gar nicht. Bis zum ersten Kontakt ist es meistens normal, dass
die Kugel mehr rutscht als rollt.

Da bin ich aber platt. Hast Du seinerzeit bei dem Thema
„Bowlingkugel“ das anfängliche Rutschen nicht ausgeschlossen?
Vllt. irre ich mich. Ich bin aber zu faul, im Archiv
nachzuschauen.

Nanana! Damals ging es darum, wann eine Kugel allein unter dem Einfluss von Gleitreibung vom Rutschen ins Rollen übergeht. Du wolltest den Einfluss der Gleitreibung leugnen und stattdessen das Problem mit der Rollreibung lösen.

Falls Du doch noch Lust kriegen solltes, das nachzulesen:
/t/bowlingkugel/4842510/38

Michael

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Auch diese Aufgabe (Suche nach d. Auflagekraft im
Drehpunkt)kann
nach den Regeln der Staik gelöst werden, obwohl eine
Beschleunigung vorliegt:

„Freimachen“ des Körpers.
Eintragen a l l e r Kräfte und Momente, so dass Gleichgewicht
herrscht.

Die Betonung liegt auf „aller“ Kräfte (weshalb Du dieses Wort auch gesperrt geschrieben hast). Bei dieser Lösungsstrategie schließt das die Trägheitskräfte mit ein.

Ob jetzt aber m*a auf der einen Seite oder -m*a auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen steht, ist mathematisch dann natürlich wieder äquivalent. Aber man muss sich halt für eine Schreibweise entscheiden und diese dann durchhalten…

Michael

[Manni_1248d3]

Hallo,

Ob jetzt aber m*a auf der einen Seite oder -m*a auf der
anderen Seite des Gleichheitszeichen steht, ist mathematisch
dann natürlich wieder äquivalent. Aber man muss sich halt für
eine Schreibweise entscheiden und diese dann durchhalten…

Eiere nicht so herum.
Rechne doch einfach konkret die Lagerkraft aus.
Mach eine Skizze.
Das hilft Andreas sicher.

Manni

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo Manni!

Eiere nicht so herum.

Ich habe nicht herumgeeiert. Wenn Du nicht so voreingenommen wärst, dann hättest Du vielleicht verstanden, dass ich Dir zugestimmt habe.

Ob ich einen dynamischen Ansatz wähle:

ΣF = ma

(Eine resultierende Kraft hat eine beschleunigende Wirkung)

oder einen statischen Ansatz:

ΣF - ma = 0

(Die Summe aller angreifenden Kräfte unter Einbeziehung der Trägheitskräfte ist Null)

ist von einem mathematischen Standpunkt aus vollkommen gleichbedeutend.

Rechne doch einfach konkret die Lagerkraft aus.
Mach eine Skizze.

Warum ich? Warum nicht Du?

Das hilft Andreas sicher.

So wie ich es verstanden habe, hat Andreas eine Musterlösung und hatte nur ein paar Verständnisfragen.

Michael

[Manfred_14fab8]

Hallo,
erstmal vielen Dank euch beiden für die vielen Antworten.

Ich denke mein Verständnisproblem bei der Aufgabe mit der Kugel ist gelöst, wenn ich mir vorstelle, dass an sich F(h), a(h) und alpha(h) gilt.

Bei der anderen Aufgabe kann ich mit der Aussage:

Die Vektorsumme aus Gewichtskraft und Auflagekraft bewirkt eine beschleunigende Kraft (hier F_rot genannt), die nach der Grundgleichung der Mechanik eine Beschleunigung des Schwerpunkts zur Folge hat.

leben, allerdings erschien (ein bischen immer noch) mir die Gleichung F_A+m*g = F_rot, so als wollte ich 2 Kräfte der Einfachheit halber zu einer äquivalten Kraft zusammenfassen. Diese müsste dann aber meiner Meinung nach eben nicht im Schwerpunkt angreifen um vollständige (physikalische) Äuqivalenz der beiden Seiten sicher zu stellen.

Viele Grüße

Andreas

[Manni_1248d3]

Hallo,

leben, allerdings erschien (ein bischen immer noch) mir die
Gleichung F_A+m*g = F_rot, so als wollte ich 2 Kräfte der
Einfachheit halber zu einer äquivalten Kraft zusammenfassen.
Diese müsste dann aber meiner Meinung nach eben nicht im
Schwerpunkt angreifen um vollständige (physikalische)
Äuqivalenz der beiden Seiten sicher zu stellen.

Was hast Du denn für die Auflagekraft errechnet?

Gruß:

Manni

[Manfred_14fab8]

Hallo,
es gilt alpha = 3*g/(2l)
Und dann ergibt sich nach der Formel aus der Musterlösung für F_A: -1/4*m*g (Minuszeichen weil die Kraft nach oben zeigt)

Viele Grüße

Andreas

[Manni_1248d3]

Hallo Andreas,

es gilt alpha = 3*g/(2l)
Und dann ergibt sich nach der Formel aus der Musterlösung für
F_A: -1/4*m*g (Minuszeichen weil die Kraft nach oben zeigt)

Habe ich auch.

Gruß:
Manni