Hallo Brayn,
„Nullstellen“ war ehrlich gesagt falsch formuliert besser wäre
wohl Definitionslücken gewesen.
Du kannst durchaus Nullstellen dazu sagen, wenn klar ist, dass damit die Nullstellen des Nennerpolynoms gemeint sind. Das sind dann die Definitionslücken oder die Polstellen der durch den Bruchterm gegebenen Funktion, bei Dir also der Funktion
f(x) = \frac{x-1}{x(x+3)}
So habe ich das aber immer gemacht und bisher hat es auch gut funktioniert 
Hendrik ist schon darauf eingegangen und seine Ausführungen dazu sind richtig. Deine Methode ist zulässig – sie liefert keine falschen Ergebnisse. Sie ist jedoch nicht in jedem Fall ausreichend, d. h. es könnte Dir passieren, dass Du damit nicht alle, sondern nur einen Teil der gesuchten Parameter A, B, C… herausbekommst. Das Koeffizientenvergleich-Verfahren funktioniert dagegen immer, führt allerdings auf ein lineares Gleichungssystem für die Parameter A, B, C…, dessen Lösung von Hand aufwendiger ist.
Habe ich das jetzt ricgtig verstanden, du klammerst das u aus
und löst das ganze in zwei Gleichungssysteme.
In ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten A und B.
Ich habe noch eine andere Aufgabe zur Partialbruchzerlegung. Das habe
ich bei dieser mal genauso gemacht. Aber das ist ja unglaublich
viel rechnerrei. Die Aufgabe ist wie folgt:
\frac{A}{(x-2)} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x+1)^2}
OK, lass uns mal diesen Kamerad partialbruchzerlegen:
\frac{5x^2 + 1}{x^3 - 3x - 2}
Die Nullstellen des Nennerpolynoms x³ – 3x – 2 sind hier schnell durch „Raten“ gefunden: 2 und –1, wobei die –1 eine doppelte Nullstelle ist.
Damit können wir den korrekten PBZ-Ansatz hinschreiben:
\frac{5x^2 + 1}{(x-2)(x+1)^2}
= \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}
Multiplikation mit dem (x – 2)(x + 1)² führt auf
5x^2 + 1 = A(x+1)^2 + B(x-2)(x+1) + C(x-2)
Die Forderung, dass das für alle x erfüllt sein soll, legt die Parameter A, B und C eindeutig fest. Die Frage ist, wie man deren Werte herausbekommt.
Eine Möglichkeit: Setze für x „irgendwelche“ Werte ein und schaue, inwieweit das brauchbare Informationen über A, B und C liefert. Wenn man sich für diese Möglichkeit entscheidet, ist es sehr clever, für x gerade die Nullstellenwerte, also hier 2 und –1 zu wählen, weil dadurch viel von dem gekillt wird, was hinter A, B und C in Klammern herumsteht. Hier liefert das (x = –1)-Setzen sofort C = –2, und das (x = 2)-Setzen sofort A = 7/3. Dummerweise killt beides aber (x – 2)(x + 1) mit der Konsequenz, dass schon alle Polstellen „verbraucht“ sind, ohne dass Du damit B herausbekommen hast. Hier offenbart sich eine Unzulänglichkeit Deiner Methode: Sobald mehrfache Polstellen vorhanden ist, reicht sie alleine nicht aus. Was tun, um B dingfest zu machen? Klar, Du setzt x einfach auf einen irgendeinen weiteren Wert, z. B. Null. Das ergibt folgende Gleichung:
5 \cdot 0^2 + 1 = A(0+1)^2 + B(0-2){0+1} + C(0-2)
oder nach Vereinfachung:
1 = A-2B-2C
und somit ist
B = \frac{A-2C-1}{2} = \frac{\frac{7}{3} - 2(-2)-1}{2} = \frac{8}{3}
Damit sind alle Parameter bekannt und die Aufgabe gelöst:
\frac{5x^2 + 1}{x^3 - 3x - 2}
= \frac{7}{3(n-2)} + \frac{8}{3(n+1)} - \frac{2}{(n+1)^2}
Bei einer schwierigeren Aufgabe mit noch mehr mehrwertigen Nullstellen wären noch mehr Paramter übriggeblieben, z. B. hättest Du A, C und F schnell mit der Einsetzmethode ermitteln können, aber nicht B, D und E. Dann wärst Du gezwungen, B, D und E über ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für ebendiese Unbekannten zu bestimmen. Auch bei B in dem Beispiel oben war das genaugenommen der Fall, auch wenn das LGS da nur aus einer einzigen Gleichung bestand, nämlich 1 = A – 2B – 2C.
Ist es richtig dass da das dann so umstellen würdest?
x*(Ax+2A+Bx-2B+B+C) + A - 2B - 2C = 0
Nein. Bei der Gleichungssystem-Methode wird alles, was auf der rechten Seite von…
5x^2 + 1 = A(x+1)^2 + B(x-2)(x+1) + C(x-2)
…steht, einfach erbarmungslos ausmultipliziert…
5x^2 + 1 = A(x^2+2x+1) + B(x^2-x-2) + C(x-2)
…und anschließend nach x-Potenzen sortiert:
5x^2 + 1 = (A+B)x^2 + (2A-B+C)x + A-2B-2C
Jetzt kann der Koeffizientenvergleich durchgeführt werden. Die Gleichung ist für alle x nur dann erfüllt, wenn der x²-Koeffizient links (5) gleich dem x²-Koeffizient rechts (A + B) ist, und ebenso der x-Koeffizient links (0) gleich dem x-Koeffizient rechts (2A – B + C), und ebenso das konstante Glied links (1) gleich dem konstanten Glied rechts (A – 2B – 2C). Das zu lösende LGS ist also
A + B = 5
\quad\textnormal{und}\quad
2A - B + C = 0
\quad\textnormal{und}\quad
A - 2B - 2C = 1
Durch Eintippen in irgendeinen LGS-Solver oder Aufdröseln mit Papier und Bleistift nach der Methode Deiner Wahl (Gauß-Elimination, Determinanten etc.) kannst Du Dich schnell davon überzeugen, dass die Lösung A = 7/3, B = 8/3, C = –2 ist.
Nun gibt es noch „schwierigere“ PBZ-Aufgaben als solche mit mehrfachen Nullstellen. Das sind jene der Kategorie „Nennerpolynom hat komplexe Nullstelle“. Ein Beispiel wäre folgendes:
\frac{5x^2 + 2x + 1}{x^3 + x}
Aus dem Nennerpolynom x³ + x kannst Du sofort x ausklammern:
\frac{5x^2 + 2x + 1}{x (x^2 + 1)}
Was sagt uns der Faktor x² + 1? Er bedeutet, dass das Nennerpolynom außer der reellen Nullstelle bei 0 noch eine komplexe Nullstelle bei i sowie deren konjugiert-komplexe bei –i hat. Auch rein reellwertige rationale Funktionen können ja komplexe Nullstellen haben; x² + 1 ist das einfachste Beispiel dafür. Der für solche Fälle vorschriftsmäßige PBZ-Ansatz sieht hier so aus:
\frac{5x^2 + 2x + 1}{x (x^2 + 1)}
= \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}
Multiplikation mit x (x² + 1) ergibt:
5x^2 + 2x + 1 = A(x^2+1) + (Bx + C)x
Hier kannst Du noch durch (x = 0)-Setzen A isolieren, aber es wäre nicht ratsam, x = i oder x = –i zu setzen, weil Du Dir damit Rechnerei mit komplexen Zahlen aufhalsen würdest, nur um am Ende doch wieder reelle Werte für B und C zu bekommen. Das Lösen eines reellen LGS für B und C ist viel einfacher, allerdings: Einen noch einfacheren Weg als diesen gibt es nicht.
Fazit: Deine Methode ist clever und sehr effizient, und wenn bei einem PBZ-Problem alle Nullstellen reell und einwertig sind, dann ist sie sogar ausreichend. Sonst liefert sie nur einen Teil der Lösung und für den Rest ist dann die Gleichungssystem-Methode unumgänglich. Alternativ kann man auch von Anfang an die Gleichungssystem-Methode benutzen und hat dann die Gewissheit, das Problem nur damit garantiert komplett lösen zu können.
Dann muss man doch bestimmt den ersten Teil nach C umstellen
und in den zweiten Teil einsetzen. Dann noch irgendwie nach A
oder B umstellen um die jeweilig andere Variable zu bekommen,
aber das ist doch unglaublich viel Aufwand …
LGS löst man auch nur solange von Hand, bis man es kann. Danach darf man das Computer-Algebra-Systemen überlassen
Gruß
Martin
